Relativité Restreintre (Bac+2)

[Anonyme]

Bonjour ....

Je n'arrive pas à trouver mon erreur, pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît
?

On a 2 particules 1 et 2 entrant en collision, 2 est fixe dans le
référentiel R du labo. .
Leurs énergies sont E1 = Eo1 + T1 (énergie propre + cinétique) et E2 = Eo2.

On veux connaître Ecm l'énergie de centre de masse.

J'utilise la transfo. de Lorentz pour obtenir E = g.Ecm (*)
avec g² = 1 / ( 1-(u/c)² ),
u la vitesse de référentiel barycentrique B,
c la vitesse de la lumière dans le vide,
E = E1+E2

Déterminons g :
E = g.Mo.c² avec Mo = somme des masses propres 1 et 2
Eo = Mo.c² avec Eo = Eo1 + Eo2
Donc g = E / Eo.

De (*) : Ecm = Eo.E / E = Eo.
Alors que l'on doit obtenir Ecm = racine ( Eo² + 2.T1.Eo2) avec la méthode
des invariants.
(méthode des invariants :
quadri-impulsion totale dans R * quadri-impulsion totale dans R =
quadri-impulsion totale dans B * quadri-impulsion totale dans B
<=> E²-p²c² = E²cm avec p la quantité de mouvement totale dans R : p=p1
<=> E1² + E2² + 2.E1.E2 -p1².c² = E²cm
<=> E2² + 2.E1.E2 +Eo1² = E²cm car E1²-p1².c² = Eo1²
<=> Eo1² + Eo2² + 2.(Eo1+T1).Eo2 = E²cm
<=> Ecm = racine ( Eo² + 2.T1.Eo2).

[Anonyme]

"LaPomme" a écrit dans le message de news:
41d28ed9$0$1190$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour ....
>
> Je n'arrive pas à trouver mon erreur, pourriez-vous m'aider
> s'il-vous-plaît
> ?
>
> On a 2 particules 1 et 2 entrant en collision, 2 est fixe dans le
> référentiel R du labo. .
> Leurs énergies sont E1 = Eo1 + T1 (énergie propre + cinétique) et E2 =
> Eo2.
>
> On veux connaître Ecm l'énergie de centre de masse.
>
> J'utilise la transfo. de Lorentz pour obtenir E = g.Ecm (*)
> avec g² = 1 / ( 1-(u/c)² ),
> u la vitesse de référentiel barycentrique B,
> c la vitesse de la lumière dans le vide,
> E = E1+E2
>
> Déterminons g :
> E = g.Mo.c² avec Mo = somme des masses propres 1 et 2

??? D'où vient cette formule ?

À la rigueur, dans le référentiel du labo :

E=E1+E2=Eo1+T1+Eo2+T2=Eo1+T1+Eo2=Moc^2 + (g1-1)Mo1

où g1^2=1/(1/(v1/c)^2).

> De (*) : Ecm = Eo.E / E = Eo.
> Alors que l'on doit obtenir Ecm = racine ( Eo² + 2.T1.Eo2) avec la méthode
> des invariants.
> (méthode des invariants :
> quadri-impulsion totale dans R * quadri-impulsion totale dans R =
> quadri-impulsion totale dans B * quadri-impulsion totale dans B
> E²-p²c² = E²cm avec p la quantité de mouvement totale dans R : p=p1
> E1² + E2² + 2.E1.E2 -p1².c² = E²cm
> E2² + 2.E1.E2 +Eo1² = E²cm car E1²-p1².c² = Eo1²
> Eo1² + Eo2² + 2.(Eo1+T1).Eo2 = E²cm
> Ecm = racine ( Eo² + 2.T1.Eo2).


Oui, Ecm=E/g.

Il faut ensuite calculer la vitesse u à partir de la définition du
référentiel barycentrique (impulsion totale=0 dans Rcm) et de la
transformation de Lorentz entre quadrivecteurs (vec(p), E).

u=E1*v1/(E1+E2), d'où g d'où Ecm.

--
rob

[Anonyme]

Cette dernière formule : u=E1*v1/(E1+E2),
je l'ai eue de la façon suivante :
P = Mo.u
avec P la quadri-impulsion totale dans R telle que P = (E/c , vec(P)),
Mo la masse totale dans le repère barycentrique B
et u la quadri-vitesse de B par rapport à R telle que u =
g(c,vec(u))
E = M.c² avec M = g.Mo la somme des gi.Moi dans R (c'est cette formule qui
bloquait tout-à-l'heure mais je me suis trompé dans son interprétation,
c'est certainement mieux dit comme çà)
D'où Mo = E / (g.c²)
D'où u = g.c².P / E.
Or u = g(c,vec(u)).
Donc g.vec(u) = g.c².vec(P) / E
càd vec(u) = c².vec(P) / E.
Maintenant vec(P) = vec(P1) + vec(P2) = c².g1.Mo1.vec(V1) +c².
g2.Mo2.vec(V2)
Or vec(V2) = vec(0) et c².g1.Mo1 = E1.
De plus E = E1+E2.
Finalement vec(u) = E1.vec(1) / ( E1+E2).

Est-ce que c'est juste dit ainsi ?
Si oui, la formule E = M.c² avec M = g.Mo la somme des gi.Moi dans R est
vraie et l'erreur dans mon raisonnement est plus loin, mais où ?

"rob" a écrit dans le message de news:
41d2a8ac$0$29670$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> "LaPomme" a écrit dans le message de news:
> 41d28ed9$0$1190$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Bonjour ....
> >
> > Je n'arrive pas à trouver mon erreur, pourriez-vous m'aider
> > s'il-vous-plaît
> > ?
> >
> > On a 2 particules 1 et 2 entrant en collision, 2 est fixe dans le
> > référentiel R du labo. .
> > Leurs énergies sont E1 = Eo1 + T1 (énergie propre + cinétique) et E2 =
> > Eo2.
> >
> > On veux connaître Ecm l'énergie de centre de masse.
> >
> > J'utilise la transfo. de Lorentz pour obtenir E = g.Ecm (*)
> > avec g² = 1 / ( 1-(u/c)² ),
> > u la vitesse de référentiel barycentrique B,
> > c la vitesse de la lumière dans le vide,
> > E = E1+E2
> >
> > Déterminons g :
> > E = g.Mo.c² avec Mo = somme des masses propres 1 et 2
>
> ??? D'où vient cette formule ?
>
> À la rigueur, dans le référentiel du labo :
>
> E=E1+E2=Eo1+T1+Eo2+T2=Eo1+T1+Eo2=Moc^2 + (g1-1)Mo1
>
> où g1^2=1/(1/(v1/c)^2).
>
> > De (*) : Ecm = Eo.E / E = Eo.
> > Alors que l'on doit obtenir Ecm = racine ( Eo² + 2.T1.Eo2) avec la[/color]
méthode[color=green]
> > des invariants.
> > (méthode des invariants :
> > quadri-impulsion totale dans R * quadri-impulsion totale dans R =
> > quadri-impulsion totale dans B * quadri-impulsion totale dans B
> > E²-p²c² = E²cm avec p la quantité de mouvement totale dans R : p=p1
> > E1² + E2² + 2.E1.E2 -p1².c² = E²cm
> > E2² + 2.E1.E2 +Eo1² = E²cm car E1²-p1².c² = Eo1²
> > Eo1² + Eo2² + 2.(Eo1+T1).Eo2 = E²cm
> > Ecm = racine ( Eo² + 2.T1.Eo2).
>
>
> Oui, Ecm=E/g.
>
> Il faut ensuite calculer la vitesse u à partir de la définition du
> référentiel barycentrique (impulsion totale=0 dans Rcm) et de la
> transformation de Lorentz entre quadrivecteurs (vec(p), E).
>
> u=E1*v1/(E1+E2), d'où g d'où Ecm.
>
> --
> rob
>
>
>[/color]

[Anonyme]

"LaPomme" a écrit dans le message de news:
41d2f1f9$0$17965$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Cette dernière formule : u=E1*v1/(E1+E2),
> je l'ai eue de la façon suivante :
> P = Mo.u
> avec P la quadri-impulsion totale dans R telle que P = (E/c , vec(P)),
> Mo la masse totale dans le repère barycentrique B
> et u la quadri-vitesse de B par rapport à R telle que u =
> g(c,vec(u))
> E = M.c² avec M = g.Mo la somme des gi.Moi dans R (c'est cette formule qui
> bloquait tout-à-l'heure mais je me suis trompé dans son interprétation,
> c'est certainement mieux dit comme çà)
> D'où Mo = E / (g.c²)

Là, je ne comprends pas. Car, comme vous l'écrivez justement, l'énergie
totale, dans le labo, vaut :

E=somme des g*Mo*c^2=g1*Mo1c^2+g2*Mo2*c^2.

MAIS on ne peut pas séparer les gi (i=1,2) des Moi (i=1,2) et en déduire :

Mo = E / (g.c²) ???

Je partirais de la TL sur l'énergie et l'impulsion totales :

P'x=g*(Px-(E*u)/c^2) où l'axe des x est celui de la vitesse de la particule
projectile.

Par définition du référentiel du centre de masse : vec(P')=0 donc P'x=0 d'où
:

Px=E*u/c^2 => u=Px*c^2/E=p1x*c^2/E car particule 2 immobile
(vec(P)=vec(p1)).

Une formule connue : E1*u1=p1*c^2 donne alors :

u=E1*u1/E avec E=E1+E2.

> Est-ce que c'est juste dit ainsi ?
> Si oui, la formule E = M.c² avec M = g.Mo la somme des gi.Moi dans R est
> vraie et l'erreur dans mon raisonnement est plus loin, mais où ?

Oui, elle est juste. L'erreur est signalée plus haut.


--
rob

[Anonyme]

Je comprends tout votre raisonnement pour arriver à u.
Ensuite je parviens sans problème à retrouver Ecm.

Mais j'aimerais tout de même revenir sur la formule qui pose problème :

> Là, je ne comprends pas. Car, comme vous l'écrivez justement, l'énergie
> totale, dans le labo, vaut :
>
> E=somme des g*Mo*c^2=g1*Mo1c^2+g2*Mo2*c^2.
>
> MAIS on ne peut pas séparer les gi (i=1,2) des Moi (i=1,2) et en déduire :
>
> Mo = E / (g.c²) ???

J'écris le quadrivecteur impulsion total dans R :
Pr = ( somme sur i des g_i * M_oi * c² , somme sur i des vec(Pi) )
Alors en notant Mr = somme sur i des g_i * M_oi dans le référentiel R, on a
:
P = (Mr * c² , Ptot r).
On peut alors noter la quadri-impulsion dans B :
Pb = ( Mb * c² , vec(0) ).
Or par la TL de R vers B :
Mr * c² = g * Mb * c².
Donc Mr = g * Mb
avec g² = 1 / ( 1- (u/c)² ) où u est la vitesse de B par
rapport à R.

Quand j'écris dans mon tout premier message :
"Déterminons g :
E = g.Mo.c² avec Mo = somme des masses propres 1 et 2
Eo = Mo.c² avec Eo = Eo1 + Eo2
Donc g = E / Eo."
En fait, le Mo de la première formule est Mb.
Mais le second Mo est bien la somme masse propres de chaque particule.
Il n'y a donc pas de lien 'utilisable' entre les deux formules.
.....
eh ben j'crois que j'y suis arrivé

Je vous remercie bien pour m'avoir remis plus ou moins directement sur le
bon chemin.