Volume d'un solide de révolution

[Anonyme]

f(x) une fonction définie entre x1 et x2.
S la surface comprise entre l'axe y et f(x) et entre
les droites x=x1 et x=x2.
V est le solide engendré par la rotation de S autour
de l'axe x.

Existe-t-il une formule pour calculer le volume de V ?
(ne serait-ce pas l'intégrale de f²(x) ou un truc dans
le genre ?)
Ou puis-je trouver cette formule avec une petite
démonstration si possible ?

[Anonyme]

"Cindy" a écrit

> f(x) une fonction définie entre x1 et x2.
> S la surface comprise entre l'axe y et f(x) et entre
> les droites x=x1 et x=x2.
> V est le solide engendré par la rotation de S autour
> de l'axe x.
>
> Existe-t-il une formule pour calculer le volume de V ?
> (ne serait-ce pas l'intégrale de f²(x) ou un truc dans
> le genre ?)

Il suffit de découper V en "tranches" infinitésimales de largeur dx et
de section perpendiculaire à l'axe des abscisses. Chaque tranche est un
cylindre de rayon |f(x)| et de hauteur dx. Son volume est donc pi*f²(x)
et le volume total est pi fois l'intégrale de f² de x1 à x2.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

"Stéphane Ménart" a écrit

Son volume est donc pi*f²(x)

pi*f²(x) dx bien sûr !

[Anonyme]

>
>f(x) une fonction définie entre x1 et x2.
>S la surface comprise entre l'axe y et f(x) et entre
> les droites x=x1 et x=x2.
>V est le solide engendré par la rotation de S autour
> de l'axe x.
>
>Existe-t-il une formule pour calculer le volume de V ?
>(ne serait-ce pas l'intégrale de f²(x) ou un truc dans
> le genre ?)
>Ou puis-je trouver cette formule avec une petite
> démonstration si possible ?


Pour des volumes plus généraux il y a aussi la formule de Guldin :

En voici l'énoncé :

V = 2pi * Rg * A

Le volume d'une surface de révolution obtenu par la rotation d'une
plaque plane autour d'un axe (situé dans le plan de la plaque sans
la traverser) est égal au produit de l'aire de la plaque par la
circonférence décrite par le centre d'inertie de la plaque au
cours de la rotation.

S = 2pi * rg * L

L'aire d'une surface de révolution obtenue par la rotation d'un
fil plan autour d'un axe (situé dans le plan du fil sans le
traverser) est égale au produit de la longueur du fil par la
circonférence décrite par le centre de gravité du fil au cours de
la rotation.


La démo est très simple si on connait un peu le calcul intégral des
volumes ou des surfaces (ça résulte plus ou moins d'un réarrangement
des termes pour faire apparaitre le centre de gravité), mais met en
oeuvre des notions plus avancées (green-riemann, compacts simples) dès
qu'on veut justifier un peu les calculs effectués.



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...