Valeurs propres

[Anonyme]

Bonjour,

En cours nous avons vu que u est diagonalisable si et seulement si E=somme
directe des E? (u).

En démonstration, nous avons que si [u]=diag(?1... ?n) alors Pu(X)= produit
de (?i-X), SPu={ ?i, i allant de 1 à n) et donc alors E= somme directe de
Ker(u- ?IdE).

Je ne comprends pas comment on peut en déduire la somme directe.

Est-ce que vous pourriez m'aider ?

Merci

[Anonyme]

Je viens de voir ca aussi, mais ma démo est plus longue; a quoi correspond
ta notation SPu ?
"sessa95" a écrit dans le message de news:
4205f991$0$19439$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> En cours nous avons vu que u est diagonalisable si et seulement si E=somme
> directe des E? (u).
>
> En démonstration, nous avons que si [u]=diag(?1... ?n) alors Pu(X)=
> produit de (?i-X), SPu={ ?i, i allant de 1 à n) et donc alors E= somme
> directe de Ker(u- ?IdE).
>
> Je ne comprends pas comment on peut en déduire la somme directe.
>
> Est-ce que vous pourriez m'aider ?
>
> Merci
>
>

[Anonyme]

"ultrawave" a écrit dans le message de news:
4206129b$0$6626$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Je viens de voir ca aussi, mais ma démo est plus longue; a quoi correspond
> ta notation SPu ?

Je ne comprends pas bien vos notations, mais avez-vous cherché du côté du
lemme des noyaux? (si P=produit des Pi, avec les Pi premiers entre eux deux
à deux, alors Ker(P(u)) = somme directe des Ker(Pi(u)) )

[Anonyme]

les ? correspondent aux valeurs propres lambda etSp(u) correspond au
spectre de u.
En ce qui concerne le lemme des noyaux nous ne l'avons pas vu en cours
"sessa95" a écrit dans le message de news:
4205f991$0$19439$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> En cours nous avons vu que u est diagonalisable si et seulement si E=somme
> directe des E? (u).
>
> En démonstration, nous avons que si [u]=diag(?1... ?n) alors Pu(X)=
> produit de (?i-X), SPu={ ?i, i allant de 1 à n) et donc alors E= somme
> directe de Ker(u- ?IdE).
>
> Je ne comprends pas comment on peut en déduire la somme directe.
>
> Est-ce que vous pourriez m'aider ?
>
> Merci
>
>

[Anonyme]

sessa95 a présenté l'énoncé suivant :
> En ce qui concerne le lemme des noyaux nous ne l'avons pas vu en cours

Ca s'appelle aussi théorème de décomposition des noyaux.
Pas vu ?

[Anonyme]

Non nous n'avons pas vu ce théorème désolé
"Romain M" a écrit dans le message de news:
mn.33e57d52489acdc8.26820@nospam.ifrance.com...
> sessa95 a présenté l'énoncé suivant :[color=green]
>> En ce qui concerne le lemme des noyaux nous ne l'avons pas vu en cours
>
> Ca s'appelle aussi théorème de décomposition des noyaux.
> Pas vu ?
>
>[/color]

[Anonyme]

On Sun, 6 Feb 2005 12:03:45 +0100, "sessa95"
wrote:

>Bonjour,
>
>En cours nous avons vu que u est diagonalisable si et seulement si E=somme
>directe des E? (u).
>
>En démonstration, nous avons que si [u]=diag(?1... ?n) alors Pu(X)= produit
>de (?i-X), SPu={ ?i, i allant de 1 à n) et donc alors E= somme directe de
>Ker(u- ?IdE).
>
>Je ne comprends pas comment on peut en déduire la somme directe.
>
puisque ta matrice est supposée diagonale on peut supposer
(quitte à changer l'ordre des vecteurs de la base)
que les termes diagonaux sont
v1,v1..v1,v2...v2,v3..v3,...,vr...vr
s'il y a r valeurs propres distinctes chacune de multiplicité ni
(la somme des ni est n)

donc il est facile de voir
que ker(u-v1IdE) a pour base les n1 1er vecteurs de la base
ker(u-v2IdE) a pour base les n2 vecsteurs suivants de la base
etc

donc E est bien somme directe des ker

(en fait je n'utilise pas que le poly cara est produit des x-vi)

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

sessa95 a émis l'idée suivante :
> Non nous n'avons pas vu ce théorème désolé

C'est l'un des théorèmes les plus important dans le cadre de la
réduction.

Soient E un lK-ev et u un endomorphisme de E.
Soient P_1 ... P_r des polynômes à coefficients dans lK premiers entre
eux deux à deux :
pour tous i,j dans {1...n}, i=/=j => P_i ^ P_j = 1.
Alors :
Ker[(P_1o...oP_r)(u)] = Ker[P_1(u)] (+) ... (+) Ker[P_r(u)].

Ca peut se démontrer par récurrence sur r, à l'aide du théorème de
Bezout.