Valeur en 0 de la dérivée de sin(x)/x

[Anonyme]

On définit la fonction f(x) =sin(x)/x et f(0)=1
On veut calculer la valeur de sa dérivée au point 0, puisque lim x->0
sin(x)/x=1
J'ai essayé par 2 méthodes :
- le calcul de sa dérivée : (xcos(x)-sin(x))/x2
- la méthode f'(x)= lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h

seul problème, j'aboutis à une forme indéterminée 0/0 dont je ne me sors pas
Quelle est la bonne piste ?

Merci

[Anonyme]

"pmottet" a écrit dans le message de news:
41867239$0$24937$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> On définit la fonction f(x) =sin(x)/x et f(0)=1
> On veut calculer la valeur de sa dérivée au point 0, puisque lim x->0
> sin(x)/x=1
> J'ai essayé par 2 méthodes :
> - le calcul de sa dérivée : (xcos(x)-sin(x))/x2
> - la méthode f'(x)= lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h
>
> seul problème, j'aboutis à une forme indéterminée 0/0 dont je ne me sors
pas
> Quelle est la bonne piste ?
>
> Merci
>
>
pour x=0 f'(x) = lim (x->0) (f(x) - f(0))/(x-0) = ((sin x)/x - 1)/x = (sin
x - x)/x^2

Pour conclure, je dirais que :
sin x = x + o(x^2) donc f'(0) = 0

Mais si tu ne connais pas les "o", je ne vois pas comment t'aider.

[Anonyme]

tu prend la définition de la dérivée cad le tauw de variation :
sin(x) - sin(0)
-------------- = sin'(0) = 1
x - 0

"pmottet" a écrit dans le message news:
41867239$0$24937$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> On définit la fonction f(x) =sin(x)/x et f(0)=1
> On veut calculer la valeur de sa dérivée au point 0, puisque lim x->0
> sin(x)/x=1
> J'ai essayé par 2 méthodes :
> - le calcul de sa dérivée : (xcos(x)-sin(x))/x2
> - la méthode f'(x)= lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h
>
> seul problème, j'aboutis à une forme indéterminée 0/0 dont je ne me sors
pas
> Quelle est la bonne piste ?
>
> Merci
>
>

[Anonyme]

----- Original Message -----
From: "Visit"
Newsgroups: fr.education.entraide.maths
Sent: Monday, November 01, 2004 8:14 PM
Subject: Re: valeur en 0 de la dérivée de sin(x)/x


> tu prend la définition de la dérivée cad le tauw de variation :
> sin(x) - sin(0)
> -------------- = sin'(0) = 1
> x - 0

Malheureusement le problème n'est pas de calculer la dérivée de sin x en 0
mais la dérivée de sin x / x ...... Nuance !!!

[Anonyme]

Dans le message news:41867239$0$24937$8fcfb975@news.wanadoo.fr,
pmottet a écrit:
> On définit la fonction f(x) =sin(x)/x et f(0)=1
> On veut calculer la valeur de sa dérivée au point 0, puisque lim x->0
> sin(x)/x=1
> J'ai essayé par 2 méthodes :
> - le calcul de sa dérivée : (xcos(x)-sin(x))/x2
> - la méthode f'(x)= lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h
>
> seul problème, j'aboutis à une forme indéterminée 0/0 dont je ne me
> sors pas Quelle est la bonne piste ?

Bonjour,
Ma réponse ne doit pas être la meilleure, mais je la donne faute de
mieux.

Ton affaire (2e méthode) revient à étudier la limite de (sin(h) - h)/h²
Comme sin(h) <= h <= tan(h) (sur [0 ; pi/2] ), et que tu intuites que la
limite cherchée est 0, tu peux utiliser 0 <= h - sin(h) <= tan(h) -
sin(h) pour majorer la valeur absolue du numérateur.

Tu as donc la dérivée majorée en valeur absolue par [tan(h) - sin(h)] /
h²
= tan(h) [1 - cos(h)]/ h²
= 2 tan(h) sin²(h/2) / h²
= (1/2) tan(h) f²(h/2)
qui tend bien vers 0 puisque tan(h) tend vers 0 et f(h/2) tend vers 1.

--
Cordialement,
Bruno