Bonjour,
J ai fais les deux premières parties
Pourriez vous m aider à résoudre les parties III et IV du problème;
Merci d avance
Voici le sujet...
I Vous avez vu que :
Th : il existe une infinité de nombre premiers
Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
Fn= 2 ^2^n + 1 (n plus grand ou égal à 0)
1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
2 Démontrer, par récurrence, que :
pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1 jusqu a F M-1
3 Montrer que , pour m différent den, pgcd (Fm, Fn) = 1
4 En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers (Soyez
rigoureux )
II Une conjecture de Fermat :
1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
2 Allez un peu de courage A vos calculatrices ( Fermat n en avait pas)
Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
3 Et pour F5 ? Et les suivants ?
Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
Qu en pensez vous ?
III Un théorème d Euler
TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres premiers
de la forme : 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.
Evidemment, nous allons le démontrer !
Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1
1 Soit E ={ k élément de N */ 2 ^k congrus à 1[p] }
a. Pourquoi E est il non vide ?
b. on en déduit que E admet un plus petit élément d
c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d
Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
division euclidienne précédente est nul.
d. En déduire qu il existe un entier n tel que : p - 1= d n
2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?
d divise t-il 2^m ?
b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer
(2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )
d divise t il 2^ m+1 ?
c. En déduire d
3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu il existe au moins un entier premier de
la forme désirée
4. En déduire qu il en existe une infinité (c est très facile mais je vous
aide : « tout nombre s écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de la
forme ... )
5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 ...
IV Un cas particulier, très intéressant m=5
Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n était pas sur que F5 était
premier.
Alors, d après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.
1. De quelles formes sont-ils ?
2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
3. F5 est il ou n est il pas ?
4. Vérifier que l autre facteur est bien de la forme attendue
Urgent, SVP DM de spé
4 messages
- Page 1 sur 1
Re: Urgent, SVP DM de spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
On Tue, 20 Jan 2004 20:31:09 +0300, "michel girard22"
wrote:
>Bonjour,
>
>J ai fais les deux premières parties
>Pourriez vous m aider à résoudre les parties III et IV du problème;
>Merci d avance
urgent, urgent ? pourtant a déjà été posté le 27 décembre , mais bon
le sujet m'a intéressé ........
>Voici le sujet...
>
>
>I Vous avez vu que :
>Th : il existe une infinité de nombre premiers
>
>Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
>Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
>Fn= 2 ^2^n + 1 (n plus grand ou égal à 0)
>
>1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
>2 Démontrer, par récurrence, que :
>pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1 jusqu a F M-1
>3 Montrer que , pour m différent den, pgcd (Fm, Fn) = 1
>4 En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers (Soyez
>rigoureux )
>
>II Une conjecture de Fermat :
>1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
>2 Allez un peu de courage A vos calculatrices ( Fermat n en avait pas)
>Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
>3 Et pour F5 ? Et les suivants ?
>Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
>Qu en pensez vous ?
>
>III Un théorème d Euler
>TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres premiers
>de la forme : 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.
lire m et non M : cette erreur d'énoncé n'était pas dans le postage du
27 décembre!
>Evidemment, nous allons le démontrer !
>
>Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1
>1 Soit E ={ k élément de N */ 2 ^k congrus à 1[p] }
>a. Pourquoi E est il non vide ?
il contient p-1 (Fermat)
>b. on en déduit que E admet un plus petit élément d
>c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d
>Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
>En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
>division euclidienne précédente est nul.
sinon il serait dans E et serait d. En déduire qu il existe un entier n tel que : p - 1= d n[/color]
on vient de voir que p-1 est dans E
>2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?
2^(2^m) congru à -1
>d divise t-il 2^m ?
non sinon 2^(2^m) congru à 1
>b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer
>(2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )
là on donne la réponse puisque (2^(2^m))^2=2^(2^(m+1))
et donc il congru à -1 au carré
>d divise t il 2^ m+1 ?
ben oui , à condition d'écrire correctement la question ,cf 1d
>c. En déduire d
il divise 2^(m+1) et pas 2^m , donc d=2^(m+1)
>3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu il existe au moins un entier premier de
>la forme désirée
comme p-1=d*n , p répond à la question
cad on vient de démontrer que tout nombre 1er diviseur de F_m s'écrit
2^(m+1)*n+1 , n entier naturel non nul
>4. En déduire qu il en existe une infinité (c est très facile mais je vous
>aide : « tout nombre s écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de la
>forme ... )
tu exploites la rem précédente
>5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
>a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
>b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
>c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 ...
si m>=3, 8 divise 2^m
>IV Un cas particulier, très intéressant m=5
>
>Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n était pas sur que F5 était
>premier.
>Alors, d après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.
>1. De quelles formes sont-ils ?
2^6*n+1
>2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
>3. F5 est il ou n est il pas ?
>4. Vérifier que l autre facteur est bien de la forme attendue
>
>
>
>
>
>
>
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Pichereau Alain
adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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wrote:
>Bonjour,
>
>J ai fais les deux premières parties
>Pourriez vous m aider à résoudre les parties III et IV du problème;
>Merci d avance
urgent, urgent ? pourtant a déjà été posté le 27 décembre , mais bon
le sujet m'a intéressé ........
>Voici le sujet...
>
>
>I Vous avez vu que :
>Th : il existe une infinité de nombre premiers
>
>Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
>Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
>Fn= 2 ^2^n + 1 (n plus grand ou égal à 0)
>
>1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
>2 Démontrer, par récurrence, que :
>pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1 jusqu a F M-1
>3 Montrer que , pour m différent den, pgcd (Fm, Fn) = 1
>4 En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers (Soyez
>rigoureux )
>
>II Une conjecture de Fermat :
>1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
>2 Allez un peu de courage A vos calculatrices ( Fermat n en avait pas)
>Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
>3 Et pour F5 ? Et les suivants ?
>Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
>Qu en pensez vous ?
>
>III Un théorème d Euler
>TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres premiers
>de la forme : 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.
lire m et non M : cette erreur d'énoncé n'était pas dans le postage du
27 décembre!
>Evidemment, nous allons le démontrer !
>
>Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1
>1 Soit E ={ k élément de N */ 2 ^k congrus à 1[p] }
>a. Pourquoi E est il non vide ?
il contient p-1 (Fermat)
>b. on en déduit que E admet un plus petit élément d
>c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d
>Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
>En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
>division euclidienne précédente est nul.
sinon il serait dans E et serait d. En déduire qu il existe un entier n tel que : p - 1= d n[/color]
on vient de voir que p-1 est dans E
>2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?
2^(2^m) congru à -1
>d divise t-il 2^m ?
non sinon 2^(2^m) congru à 1
>b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer
>(2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )
là on donne la réponse puisque (2^(2^m))^2=2^(2^(m+1))
et donc il congru à -1 au carré
>d divise t il 2^ m+1 ?
ben oui , à condition d'écrire correctement la question ,cf 1d
>c. En déduire d
il divise 2^(m+1) et pas 2^m , donc d=2^(m+1)
>3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu il existe au moins un entier premier de
>la forme désirée
comme p-1=d*n , p répond à la question
cad on vient de démontrer que tout nombre 1er diviseur de F_m s'écrit
2^(m+1)*n+1 , n entier naturel non nul
>4. En déduire qu il en existe une infinité (c est très facile mais je vous
>aide : « tout nombre s écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de la
>forme ... )
tu exploites la rem précédente
>5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
>a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
>b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
>c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 ...
si m>=3, 8 divise 2^m
>IV Un cas particulier, très intéressant m=5
>
>Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n était pas sur que F5 était
>premier.
>Alors, d après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.
>1. De quelles formes sont-ils ?
2^6*n+1
>2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
>3. F5 est il ou n est il pas ?
>4. Vérifier que l autre facteur est bien de la forme attendue
>
>
>
>
>
>
>
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Pichereau Alain
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Re: Urgent, SVP DM de spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
Bonjour,
tout d'abord merci pour votre aide..
Mais pourriez vous mettre quelques explications en plus car la pauvre élève
de terminale S que je suis ne comprends pas tout. Surtout pour les
questions 1. a , c ; 2 a, b ;4 ;5... et les autes
Marc Pichereau a écrit dans le
message : 400d7470.8883171@news.wanadoo.fr...
>
> On Tue, 20 Jan 2004 20:31:09 +0300, "michel girard22"
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour,
> >
> >J ai fais les deux premières parties
>
> >Pourriez vous m aider à résoudre les parties III et IV du problème;
> >Merci d avance
> urgent, urgent ? pourtant a déjà été posté le 27 décembre , mais bon
> le sujet m'a intéressé ........
> >Voici le sujet...
> >
> >
> >I Vous avez vu que :
> >Th : il existe une infinité de nombre premiers
> >
> >Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
> >Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
> >Fn= 2 ^2^n + 1 (n plus grand ou égal à 0)
> >
> >1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
> >2 Démontrer, par récurrence, que :
> >pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1 jusqu a F M-1
> >3 Montrer que , pour m différent den, pgcd (Fm, Fn) = 1
> >4 En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers (Soyez
> >rigoureux )
> >
> >II Une conjecture de Fermat :
> >1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
> >2 Allez un peu de courage A vos calculatrices ( Fermat n en avait pas)
> >Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
> >3 Et pour F5 ? Et les suivants ?
> >Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
> >Qu en pensez vous ?
> >
> >III Un théorème d Euler
> >TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres[/color]
premiers[color=green]
> >de la forme : 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.
> lire m et non M : cette erreur d'énoncé n'était pas dans le postage du
> 27 décembre!
> >Evidemment, nous allons le démontrer !
> >
> >Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1
> >1 Soit E ={ k élément de N */ 2 ^k congrus à 1[p] }
> >a. Pourquoi E est il non vide ?
> il contient p-1 (Fermat)
> >b. on en déduit que E admet un plus petit élément d
> >c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d
> >Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
> >En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
> >division euclidienne précédente est nul.
> sinon il serait dans E et serait >d. En déduire qu il existe un entier n tel que : p - 1= d n[/color]
> on vient de voir que p-1 est dans E
> >2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?
> 2^(2^m) congru à -1
> >d divise t-il 2^m ?
> non sinon 2^(2^m) congru à 1
> >b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer
> >(2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )
> là on donne la réponse puisque (2^(2^m))^2=2^(2^(m+1))
> et donc il congru à -1 au carré
> >d divise t il 2^ m+1 ?
> ben oui , à condition d'écrire correctement la question ,cf 1d
> >c. En déduire d
> il divise 2^(m+1) et pas 2^m , donc d=2^(m+1)
> >3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu il existe au moins un entier premier[/color]
de[color=green]
> >la forme désirée
> comme p-1=d*n , p répond à la question
> cad on vient de démontrer que tout nombre 1er diviseur de F_m s'écrit
> 2^(m+1)*n+1 , n entier naturel non nul
> >4. En déduire qu il en existe une infinité (c est très facile mais je[/color]
vous[color=green]
> >aide : « tout nombre s écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de[/color]
la[color=green]
> >forme ... )
> tu exploites la rem précédente
> >5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
> >a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
> >b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
> >c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 ...
> si m>=3, 8 divise 2^m
> >IV Un cas particulier, très intéressant m=5
> >
> >Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n était pas sur que F5[/color]
était[color=green]
> >premier.
> >Alors, d après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers[/color]
possibles.[color=green]
> >1. De quelles formes sont-ils ?
> 2^6*n+1
> >2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
> >3. F5 est il ou n est il pas ?
> >4. Vérifier que l autre facteur est bien de la forme attendue
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
>
> *****************
>
> Pichereau Alain
>
> adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien[/color]
sûr le .invalid
>
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
>
> *****************
tout d'abord merci pour votre aide..
Mais pourriez vous mettre quelques explications en plus car la pauvre élève
de terminale S que je suis ne comprends pas tout. Surtout pour les
questions 1. a , c ; 2 a, b ;4 ;5... et les autes
Marc Pichereau a écrit dans le
message : 400d7470.8883171@news.wanadoo.fr...
>
> On Tue, 20 Jan 2004 20:31:09 +0300, "michel girard22"
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour,
> >
> >J ai fais les deux premières parties
>
> >Pourriez vous m aider à résoudre les parties III et IV du problème;
> >Merci d avance
> urgent, urgent ? pourtant a déjà été posté le 27 décembre , mais bon
> le sujet m'a intéressé ........
> >Voici le sujet...
> >
> >
> >I Vous avez vu que :
> >Th : il existe une infinité de nombre premiers
> >
> >Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
> >Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
> >Fn= 2 ^2^n + 1 (n plus grand ou égal à 0)
> >
> >1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
> >2 Démontrer, par récurrence, que :
> >pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1 jusqu a F M-1
> >3 Montrer que , pour m différent den, pgcd (Fm, Fn) = 1
> >4 En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers (Soyez
> >rigoureux )
> >
> >II Une conjecture de Fermat :
> >1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
> >2 Allez un peu de courage A vos calculatrices ( Fermat n en avait pas)
> >Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
> >3 Et pour F5 ? Et les suivants ?
> >Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
> >Qu en pensez vous ?
> >
> >III Un théorème d Euler
> >TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres[/color]
premiers[color=green]
> >de la forme : 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.
> lire m et non M : cette erreur d'énoncé n'était pas dans le postage du
> 27 décembre!
> >Evidemment, nous allons le démontrer !
> >
> >Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1
> >1 Soit E ={ k élément de N */ 2 ^k congrus à 1[p] }
> >a. Pourquoi E est il non vide ?
> il contient p-1 (Fermat)
> >b. on en déduit que E admet un plus petit élément d
> >c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d
> >Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
> >En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
> >division euclidienne précédente est nul.
> sinon il serait dans E et serait >d. En déduire qu il existe un entier n tel que : p - 1= d n[/color]
> on vient de voir que p-1 est dans E
> >2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?
> 2^(2^m) congru à -1
> >d divise t-il 2^m ?
> non sinon 2^(2^m) congru à 1
> >b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer
> >(2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )
> là on donne la réponse puisque (2^(2^m))^2=2^(2^(m+1))
> et donc il congru à -1 au carré
> >d divise t il 2^ m+1 ?
> ben oui , à condition d'écrire correctement la question ,cf 1d
> >c. En déduire d
> il divise 2^(m+1) et pas 2^m , donc d=2^(m+1)
> >3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu il existe au moins un entier premier[/color]
de[color=green]
> >la forme désirée
> comme p-1=d*n , p répond à la question
> cad on vient de démontrer que tout nombre 1er diviseur de F_m s'écrit
> 2^(m+1)*n+1 , n entier naturel non nul
> >4. En déduire qu il en existe une infinité (c est très facile mais je[/color]
vous[color=green]
> >aide : « tout nombre s écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de[/color]
la[color=green]
> >forme ... )
> tu exploites la rem précédente
> >5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
> >a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
> >b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
> >c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 ...
> si m>=3, 8 divise 2^m
> >IV Un cas particulier, très intéressant m=5
> >
> >Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n était pas sur que F5[/color]
était[color=green]
> >premier.
> >Alors, d après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers[/color]
possibles.[color=green]
> >1. De quelles formes sont-ils ?
> 2^6*n+1
> >2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
> >3. F5 est il ou n est il pas ?
> >4. Vérifier que l autre facteur est bien de la forme attendue
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
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> *****************
>
> Pichereau Alain
>
> adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien[/color]
sûr le .invalid
>
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
>
> *****************
Re: Urgent, SVP DM de spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
Evite de mettre "spé" on pense plutôt à maths spé. Ensuite, c'est pas en
postant tout le dm que tu auras tes réponses
postant tout le dm que tu auras tes réponses
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