Uniforme continuité

[Anonyme]

A l'occasion d'un plaisant sujet des mines (Maths I 1997), il me vient
l'interrogation suivante :

Toute fonction positive continue monotone majorée par une fonction linéaire
est-elle uniformément continue ?

[Anonyme]

"bucou" , dans le message (fr.education.entraide.maths:61411), a écrit :

> A l'occasion d'un plaisant sujet des mines (Maths I 1997), il me vient
> l'interrogation suivante :
>
> Toute fonction positive continue monotone majorée par une fonction linéaire
> est-elle uniformément continue ?

Non: considère la fonction définie comme ceci:

pour n entier naturel non nul:

2^n |-> 2^n
2^n+2^{-n} |-> 2^{n+1}

et tu la prolonges ailleurs en une fonction affine par morceaux comme tu
devines. Le prolongement est croissant, continu, majoré linéairement (on
peut s'amuser à lisser ça pour le rendre strictement croissant, et
C-infini). Exercice: ce n'est pas uniformément continu.

--
Yves

[Anonyme]

bucou wrote:
> A l'occasion d'un plaisant sujet des mines (Maths I 1997), il me vient
> l'interrogation suivante :
>
> Toute fonction positive continue monotone majorée par une fonction linéaire
> est-elle uniformément continue ?

Tout d'abord, il y a un petit problème. Une fonction affine qui est
toujours positive, est constante. Donc je pense que tu t'interesse à une
application définie sur un fermé. On travaille sur un fermé de R^n.

Même là, on a un contre-exemple, sur R+.

Notre fonction linéaire sera y=x.

Maintenant, on regarde la fonction affine par morceaux

(0,0) (1,0) (1+1/2,1) (2,1) (2+1/3,2) (3,2) (3+1/4,3), etc...

Cette fonction n'est pas uniformément continue.

Guillaume Yziquel