Une norme?

[Anonyme]

Bonjour,

Soit (E, II.II) un evn, V et W deux sev supplémentaires , on suppose de plus
que V est de dimension finie.

Montrer que l'application f:

x dans W -> inf{ IIx+vII; v dans V} définit une norme sur W

si f(x)=0, alors qqsoit x, x=-v, et là il faut utiliser le fait que V est de
dimension finie. Mais comment? car on a une infinité de valeurs pour v.

pour a dans le corps de base, f(ax)=inf{ IIax+vII; v dans V}
en posant u=v/a dans V, on a bien f(ax)=abs(a)f(x)

ineg triangulaire:
x,y dans W.
f(x+y)=inf{ IIx+y+vII; v dans V}
IIx+y+vII=IIx+v/2+y+v/2II<= IIx+v/2II+IIy+v/2II
en passant à l'inf on a bien f(x+y)<=f(x)+f(y)

il y a donc que la premiere propriété qui pose pb.

merci!

[Anonyme]

> Bonjour,
>
> Soit (E, II.II) un evn, V et W deux sev supplémentaires , on suppose de
plus
> que V est de dimension finie.
>
> Montrer que l'application f:
>
> x dans W -> inf{ IIx+vII; v dans V} définit une norme sur W
>
> si f(x)=0, alors qqsoit x, x=-v, et là il faut utiliser le fait que V est
de
> dimension finie. Mais comment? car on a une infinité de valeurs pour v.
>

Salut,

Je crois que pour x dans W, f(x)=0 => il existe une suite de points de V qui
converge vers x pour la norme de E; mais V est de dimension finie, donc
complet, donc la suite en question converge vers un point de V, donc x est
dans V, donc x=0 car V supplémentaire de W dans E.

@+
J.S

[Anonyme]

ok, mais pourquoi a t on:

>V est de dimension finie, donc
>complet

?

[Anonyme]

> ok, mais pourquoi a t on:
>[color=green]
> >V est de dimension finie, donc
> >complet[/color]

Vu que toutes les normes sont équivalentes, une suite de Cauchy dans V de
fournit dim(V) suites de Cauchy dans R, en regardant les coordonnées sur une
base., Elles convergent donc toutes, donc celle dont tu es parti aussi.

--
Maxi

[Anonyme]

Wenceslas wrote:> ok, mais pourquoi a t on:
>[color=green]
>>V est de dimension finie, donc
>>complet
>
> ?[/color]


Et au delà de la question, ce sont des *petites* choses qu'il faut ABSOLUMENT
savoir...
"un espace de dimension finie est complet,et donc fermé ".

[Anonyme]

>>>V est de dimension finie, donc[color=green][color=darkred]
>>>complet
>>
>> ?[/color]
>
>
>Et au delà de la question, ce sont des *petites* choses qu'il faut ABSOLUMENT
>
>savoir...
>"un espace de dimension finie est complet,et donc fermé ".[/color]

Je suis bien d'accord que c'est important, mais je vous l'assure, ce theoreme
n'est pas dans mon cours!! Et je n'ai pas trouvé de demonstration dans des
livres, je sollicite donc votre aide.

Je pars d'une suite fn de cauchy de E de dimension finie p. Je suis d'accord
que si (e1,...ep) est une base de E, je peux ecrire

fn=f1n*e1+f2n*e2+...+fnn*ep

et on en fait quoi?

[Anonyme]

On 17 Nov 2003 18:45:54 GMT, navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:
[color=green][color=darkred]
>>>>V est de dimension finie, donc
>>>>complet
>>>
>>> ?
>>
>>
>>Et au delà de la question, ce sont des *petites* choses qu'il faut ABSOLUMENT
>>
>>savoir...
>>"un espace de dimension finie est complet,et donc fermé ".[/color]
>
>Je suis bien d'accord que c'est important, mais je vous l'assure, ce theoreme
>n'est pas dans mon cours!! Et je n'ai pas trouvé de demonstration dans des
>livres, je sollicite donc votre aide.
>
>Je pars d'une suite fn de cauchy de E de dimension finie p. Je suis d'accord
>que si (e1,...ep) est une base de E, je peux ecrire
>
>fn=f1n*e1+f2n*e2+...+fnn*ep
>
>et on en fait quoi?[/color]
il me semble que maxi t'a donné l'explication dans son message du 15

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Pichereau Alain

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