Trouver un equivalent

[Anonyme]

Bonjour,

On définit pour z dans C, f(z)=Sum(z^n/n,n=1..inf) qui converge sur le disque
ouvert unité union le singleton -1.
On note c(n) le coefficient de z^n dans la serie carrée de f(z), trouver un
equivalent de c(n).

Alors on a f(z)²=Sum( Sum( 1/(k(n-k))*x^n,k=1..n-1) , n=1..inf) par le produit
de Cauchy

ainsi c(n)=Sum( 1/(k(n-k)),k=1..n-1)

parcontre pour l'equivalent, c(n) n'est pas une somme de Riemann car 1/(t(1-t))
n'est pas continue sur [0,1] . J'essaie donc d'encadrer le 1/(k(n-k)). Un
minorant est 1/(kn) mais je ne trouve pas de majorant qui marche.

[Anonyme]

Wenceslas wrote:
> Bonjour,
>
> On définit pour z dans C, f(z)=Sum(z^n/n,n=1..inf) qui converge sur le
> disque ouvert unité union le singleton -1.

Elle converge uniformement en -1???
Parceque si je me souviens bien si on condiere la série comme le dvp en
série de bertrand d'une fonction holomorphe, celle-ci l'est slt sur le
disque ouvert.

> On note c(n) le coefficient de z^n dans la serie carrée de f(z), trouver
> un equivalent de c(n).
>
> Alors on a f(z)²=Sum( Sum( 1/(k(n-k))*x^n,k=1..n-1) , n=1..inf) par le
> produit de Cauchy
>
> ainsi c(n)=Sum( 1/(k(n-k)),k=1..n-1)

Tout simplement:

1/(k*(n-k)) = -1/n*(1/(k/n*(k/n-1)) = 1/n*{1/[(k/n)-1] - 1/[k/n]}
Et la somme en question vaut:

-1/n*(1/[1/n-1] - 1/{(n-1)/n})

Qui converge bien et admet come équivalent en +00:

2/n.

Pas d'erreur?


Romain

[Anonyme]

Wenceslas wrote in message
:
> On définit pour z dans C, f(z)=Sum(z^n/n,n=1..inf) qui converge sur le
> disque ouvert unité union le singleton -1.

Elle converge même sur tout le cercle unité privé de 1, non ?

--
Yann

[Anonyme]

> Elle converge même sur tout le cercle unité privé de 1, non ?

Oui!

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi wrote:
[color=green]
>> Elle converge même sur tout le cercle unité privé de 1, non ?
>
> Oui!
>[/color]

Mais quelle CV?

Si cune CV simple, ok, mais sinon?

Romain

[Anonyme]

> > Oui![color=green]
> >
>
> Mais quelle CV?
>
> Si cune CV simple, ok, mais sinon?[/color]


Surement pas absolue (divergence de la série harmonique), donc pas uniforme
sur le disque fermé privé de 1.

--
Maxi