[2de]Trouver des entiers vérifiant certainesconditions

[Anonyme]

Bonjour à tous
Je n'arrive pas à répondre à ces deux questions avec un niveau seconde.
Auriez-vous une idée? Une piste? (Ces exercices sont à la page 128 et 129 du
Nathan Hyperbole de 2de.)

1.
Peut-on trouver deux entiers naturels consécutifs dont la différence des
inverses est égale à 1/2000


2.
On considère le nombre qui s'écrit 20002000...2000 où on retrouve 2000 fois
la séquence "2000". Ce nombre est-il le carré d'un entier?

ET j'en ai même un troisième, s'il y a mieux que d'étudier la courbe
représentative des fonctions cos et sin :
3.
Trouver l'ensemble des nombres réels x appartenant à l'ensemble [-pi; pi]
tels que sinx>=cosx.

Merci d'avance à tous.

[Anonyme]

Cécile :

> Peut-on trouver deux entiers naturels consécutifs dont la
> différence des inverses est égale à 1/2000

Soit x un entier naturel, x+1 est l'entier qui lui succède.

La différence de leurs inverses ça peut vouloir dire :
1/x-1/(x+1) ou 1/(x+1)-1/x

comme x>0, 1/x > 1/(x+1)
donc pour avoir une différence du même signe que 1/2000 c'est forcément
que
1/x-1/(x+1) = 1/2000

ensuite c'est une équation à résoudre : x(x+1)=2000

Même si le second degré n'est pas au programme en seconde, on peut
essayer d'écrire x(x+1)-2000 comme le début d'un carré

x(x+1)-2000 = x^2 + x -2000 = (x+1/2)^2 + ...
et ensuite on factorise avec la forme a^2-b^2

> Trouver l'ensemble des nombres réels x appartenant à l'ensemble
> [-pi; pi] tels que sinx>=cosx.

Au niveau seconde, on ne peut que raisonner avec les courbes ou avec le
cercle trigo, la dérivation n'étant pas au programme.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Cécile et Vincent RUDLOFT" a écrit

> 1.
> Peut-on trouver deux entiers naturels consécutifs dont la différence
des
> inverses est égale à 1/2000
>
L'équation du second degré
1/a - 1/(a+1) = 1/2000
n'a pas de solutions entières

>
> 2.
> On considère le nombre qui s'écrit 20002000...2000 où on retrouve 2000
fois
> la séquence "2000". Ce nombre est-il le carré d'un entier?

Si c'était le cas, son quotient par 400 serait aussi un carré. Or ce
quotient est
500050005000.....50005
Mais un carré ne se termine par 5 que s'il se termine par 25.

>
> ET j'en ai même un troisième, s'il y a mieux que d'étudier la courbe
> représentative des fonctions cos et sin :
> 3.
> Trouver l'ensemble des nombres réels x appartenant à l'ensemble [-pi;
pi]
> tels que sinx>=cosx.

sin(x) - cos(x) = [sqrt(2)/2] * sin(x - pi/4)
(niveau seconde ?)

>
> Merci d'avance à tous.
>

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Dans le message:BCDF6CAB.161E%vrudloft@club-internet.fr,
Cécile et Vincent RUDLOFT a écrit:
> Bonjour à tous

Bonjour

> Je n'arrive pas à répondre à ces deux questions avec un niveau
> seconde. Auriez-vous une idée? Une piste? (Ces exercices sont à la
> page 128 et 129 du Nathan Hyperbole de 2de.)
>
> 1.
> Peut-on trouver deux entiers naturels consécutifs dont la différence
> des inverses est égale à 1/2000

Si c'est sur la méthode que tu coinces:
Appelle n et (n+1) les deux entiers.
Ecris la condition à remplir 1/n -1/(n+1) = 1/2000
Simplifie et cherche s'il existe n entier qui vérifie cette équation.

> 2.
> On considère le nombre qui s'écrit 20002000...2000 où on retrouve
> 2000 fois la séquence "2000". Ce nombre est-il le carré d'un entier?

Le nombre se termine par 2000
donc déjà par deux 0.
si c'était le carré d'un entier a, on pourrait écrire a =10b
et le carré de b se terminerait alors par 20.
Existe-t-il un carré se terminant par 20 ?
Non car 20 se terminant par 0, b se terminerait aussi par 0, mais alors
son carré se terminerait par 00 et pas par 20.

> ET j'en ai même un troisième, s'il y a mieux que d'étudier la courbe
> représentative des fonctions cos et sin :
> 3.
> Trouver l'ensemble des nombres réels x appartenant à l'ensemble [-pi;
> pi] tels que sinx>=cosx.

Je suppose que sinx-cosx = rac(2) sin(x-pi/4) est du niveau 2nde ?

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Le Sun, 30 May 2004 10:49:15 +0200, C=?ISO-8859-1?B?6Q==?=cile et Vincent
RUDLOFT a écrit :

> Bonjour à tous
> Je n'arrive pas à répondre à ces deux questions avec un niveau seconde.
> Auriez-vous une idée? Une piste? (Ces exercices sont à la page 128 et 129 du
> Nathan Hyperbole de 2de.)
>
> 1.
> Peut-on trouver deux entiers naturels consécutifs dont la différence des
> inverses est égale à 1/2000

Il est facile de démontrer que dans ce cas le produit des deux nombres
entiers consécutifs doit être 2000.
En recherchant toutes les décompositions possibles de 2000 en produit de
deux entiers, il est facile de conclure.

> On considère le nombre qui s'écrit 20002000...2000 où on retrouve
> 2000 fois la séquence "2000". Ce nombre est-il le carré d'un entier?

2000*1001001...1=2^4*5*^3*1001001..1.
Le dernier facteur n'étant pas divisible par 5 le produit ne peut
contenir un nombre pair de facteurs 5 d'où la conclusion.

> ET j'en ai même un troisième, s'il y a mieux que d'étudier la courbe
> représentative des fonctions cos et sin : 3. Trouver l'ensemble des
> nombres réels x appartenant à l'ensemble [-pi; pi] tels que
> sinx>=cosx.


Dans le livre, c'est à résoudre graphiquement à l'aide du cercle
trigonométrique, et la réponse est assez évidente et l'exercice a de
l'intérêt.
Autrement, on peut toujours distinguer les signes respectifs
de sin x et cos x et se ramener au cas ou tous deux sont positifs. On
élève alors au carré et on se ramène à une seule fonction
trigonométrique. Cet exercice est alors bien formel.

> Merci d'avance à tous.


--
jjr

[Anonyme]

Le Sun, 30 May 2004 10:49:15 +0200, C=?ISO-8859-1?B?6Q==?=cile et Vincent
RUDLOFT a écrit :

> Bonjour à tous
> Je n'arrive pas à répondre à ces deux questions avec un niveau seconde.
> Auriez-vous une idée? Une piste? (Ces exercices sont à la page 128 et 129 du
> Nathan Hyperbole de 2de.)
>
> 1.
> Peut-on trouver deux entiers naturels consécutifs dont la différence des
> inverses est égale à 1/2000
>

Il est facile de démontrer que dans ce cas le produit des deux entiers
consécutifs est 2000. En énumérant toutes les décompositions de 2000
en produit de deux entiers, on peut conclure.

>
> 2.
> On considère le nombre qui s'écrit 20002000...2000 où on retrouve 2000 fois
> la séquence "2000". Ce nombre est-il le carré d'un entier?
20002000...2000=2000*1001001..1=2^4*5^3*1001001..1.

Le dernier facteur de ce produit n'étant pas divisible par 5, il n'y a
aucune chance de trouver un nombre pair de facteurs 5, d'où la
conclusion.

> ET j'en ai même un troisième, s'il y a mieux que d'étudier la corbe
> représentative des fonctions cos et sin : 3. Trouver l'ensemble des
> nombres réels x appartenant à l'ensemble [-pi; pi] tels que
> sinx>=cosx.


Avec un cercle trigonométrique, c'est assez évident. Autrement ce n'est
pas du niveau seconde.

> Merci d'avance à tous.
Ya pas de quoi

--
jjr