Triangle équilatéral

[Anonyme]

Bonjour,

Voici un petit exercice sur lequel je bute :

Si ABC est un triangle équilatéral de centre O, avec un point P, distinct de
A, B et C, qui se balade à l'intérieur de ce triangle, pour quelle position
de P la division (PB*PC*PA)/(OB^2-OP^2) donne-t-elle le résultat le plus
petit ?

Merci de votre aide !

--
Morse

[Anonyme]

On Sat, 8 May 2004 16:29:13 +0200, "Morse" wrote:

>Bonjour,
>
>Voici un petit exercice sur lequel je bute :
>
>Si ABC est un triangle équilatéral de centre O, avec un point P, distinct de
>A, B et C, qui se balade à l'intérieur de ce triangle, pour quelle position
>de P la division (PB*PC*PA)/(OB^2-OP^2) donne-t-elle le résultat le plus
>petit ?
>
ne serait-ce pas l'exercice dont il a été question ici le 2 avril
-----------------
(internationales)
considérez un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle (C).
puis un
point M intérieur à ABC.
enfin tracez la droite (AM) et notez A' le point d'intersection de
(AM) et
(C).
quelle position de M minimise (MBxMC)/MA'?
---------------------------
car MB*MC/MA'=MA*MB*MC/MA*MA'
et MA*MA' est la puissance (au signe près) de M par rapport au cercle
circonscrit et vaut donc r^2-OM^2 ;
à l'époque il a été dit qu'il était évident que M devait se trouver
sur (OA) , mais ce ne paraît pas si évident que cela car alors
vu la symétrie de la formule
( MB*MC/MA'=MA*MC/MB'=MA*MB/MC'=MA*MB*MC/(r^2-OM^2) )
M devrait se trouver sur (OB) et sur (OC) aussi et donc M=O
et il n'y a plus d'exercice ?
j'arrive à justifier que M est sur (AO) mais dans un cas partiel et
c'est un peu tordu ..............


>
>

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

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[Anonyme]

Marc Pichereau a écrit :

> ne serait-ce pas l'exercice dont il a été question ici le 2 avril

Je n'avais pas vu cet exercice, mais l'énoncé revient effectivement au
même... J'en ai eu connaissance sous la forme que j'ai écrite.

> vu la symétrie de la formule
> ( MB*MC/MA'=MA*MC/MB'=MA*MB/MC'=MA*MB*MC/(r^2-OM^2) )
> M devrait se trouver sur (OB) et sur (OC) aussi et donc M=O

J'avoue que ce n'est pas très clair dans mon esprit...pourriez-vous
m'expliquer un peu ? Je suis d'accord avec la formule, mais je ne comprends
pas ce qui en découle.

Merci.

--
Morse

[Anonyme]

On Sat, 8 May 2004 18:39:28 +0200, "Morse" wrote:

>Marc Pichereau a écrit :
>[color=green]
>> ne serait-ce pas l'exercice dont il a été question ici le 2 avril
>
>Je n'avais pas vu cet exercice, mais l'énoncé revient effectivement au
>même... J'en ai eu connaissance sous la forme que j'ai écrite.
>
>> vu la symétrie de la formule
>> ( MB*MC/MA'=MA*MC/MB'=MA*MB/MC'=MA*MB*MC/(r^2-OM^2) )
>> M devrait se trouver sur (OB) et sur (OC) aussi et donc M=O
>
>J'avoue que ce n'est pas très clair dans mon esprit...pourriez-vous
>m'expliquer un peu ? Je suis d'accord avec la formule, mais je ne comprends
>pas ce qui en découle.
>[/color]
ce que j'ai voulu dire c'est que si on considère comme évident que
pour minimiser MB*MC/MA' il faut que M soit sur (OA)
(moi je ne considère pas cela comme évident)
alors à cause de la symétrie de la formule il est "évident" que M est
sur (OB) aussi donc M=O et l'exercice serait fini
>
>--
>Morse
>
>
>

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Pichereau Alain

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[Anonyme]

Marc Pichereau a écrit :

> ce que j'ai voulu dire c'est que si on considère comme évident que
> pour minimiser MB*MC/MA' il faut que M soit sur (OA)
> (moi je ne considère pas cela comme évident)
> alors à cause de la symétrie de la formule il est "évident" que M est
> sur (OB) aussi donc M=O et l'exercice serait fini

Ah, oui, ok

--
Morse