Transposé d'une application ?

[Anonyme]

En lisant un peu d'algèbre je suis tombé sur ce qu'on appelle le transposé
d'une application sur un espace, le plus souvent l'espace dual me semble t
il, et je me demande en quoi consiste cette application, quelles sont ses
propriétés, et à quoi sert elle ?
Si vous n'avez pas vraiment le temps de m'expliquer, ce que je comprends
bien, auriez vous ne serait ce qu'un petit lien la dessus ?

merci d'avance.

[Anonyme]

Pour E K-espace vectoriel on note E* son espace dual c'est a dire
l'espace des applications lineaires de E dans K
Soit u : E -> F une application lineaire.
L'application duale, notee t(u) est defini comme suit :

t(u) : F* -> E*
est defini par t(u)(f) = f(u)

f(u) est une application qui prend un element de E, l'envoie dans F par
u, et renvoie le tout dans K par f, donc est bien une application de E
dans K c'est a dire que t(u)(f) appartient a E* donc t(u) appartient a
F* -> E*

Il est evident que t(u) est lineaire.

Il y a beaucoup d'applications associees au produit scalaire, mais la
mes cours sont trop loin et j'ai pas mon bourbaki (livre de reference)
sous la main ...

[Anonyme]

On Fri, 04 Mar 2005 17:33:39 +0100, moufle wrote:

> En lisant un peu d'algèbre je suis tombé sur ce qu'on appelle le transposé
> d'une application sur un espace, le plus souvent l'espace dual me semble t
> il, et je me demande en quoi consiste cette application, quelles sont ses
> propriétés, et à quoi sert elle ?

Le truc classique dans l'espace dual E* c'est d'introduire la forme
bilinéaire pour x* dans E* et x dans E,
= x*(x)
(on vérifie en effet facilement la linéarité par rapport aux deux
positions)
puis d'étudier les propriétés reliées à l'orthogonalité.

Ton application transposée permet alors de faire le lien avec l'adjoint
d'un endomorphisme de E relativement à cette forme bilinéaire.
= x*(u(x)) = (x*o u)(x) =
avec t_u(x) = x*o u

Cette notation sous forme de " crochet de dualité " est très pratique,
elle allège les notations déjà et permet de faire des analogies avec la
géométrie.

Un autre intérêt de l'application transposée c'est de relier deux
biduals E** et F**, via t(t_u)


J'ai lu ça il y a pas longtemps dans le Ramis, tome 1, § 9.3

À plus tard.
--
Michel [overdose@alussinan.org]