Re: transformation du plan complexe (az+b)/(cz+d)

[Anonyme]

On 5 May 2005 13:49:40 -0700, "david"
wrote:

>Merci beaucoup Alain et St=E9phane pour votre aide. J'ai tout compris.
>Mais je n'aurais jamais pens=E9 =E0 utiliser la puissance d'un point dans
>cet exercice qui rend la d=E9monstration courte et =E9l=E9gante !
dans mon vieux bq de géo
une inversion est définie par son centre I et ...sa puissance k
IM*IM'=k (il s'agit de produit de mesures algèbriques)
car en fait les 2 notions (inversion et puissance ) sont liées
par exemple pour un autre point N
IN*IN'=k
donc IM*IM'=IN*IN' et cf ppté sur puissance
M,M',N,N' sont cocyliques (si I,M,N non alignés)
>Derni=E8re petite question (r=E9solue je pense donc il s'agit plut=F4t
>d'une confirmation). Il fallait d=E9terminer l'image d'une droite
>passant par l'origine. J'ai trouv=E9 que c'=E9tait la droite sym=E9trique
>par rapport =E0 l'axe des abscisses.
>D=E9monstration :
>une droite passant par l'origine a une =E9quation de la forme y=3Dax.
>Donc si M d'affixe z est sur cette droite, z s'=E9crit sous la forme z =3D
>x +iax.
>En calculant 1/z on arrive =E0 une expression de la forme x' -iax' (avec
>x'=3Dx/(x^2+a^2x^2)).
>Donc l'image de M par la transformation 1/z est sur la droite
>d'=E9quation y'=3D-ax' qui est le sym=E9trique de la droite d'=E9quation
>y=3Dax par rapport =E0 l'axe des abscisses.
>Est-ce que c'est juste ?
>Merci de confirmer si cela ne vous ennuie pas. C'=E9tait la derni=E8re
>question !
oui le résultat est juste mais dans mon message je disais
que z->1/z
est la composée de la sym/(Ox)(z->conj(z)) et de l'inversion de centre
O, rapport 1 (z->1/(conj(z))(ca commute)

donc pour une droite passant par O, comme l'inversion la conserve
on aura que la symétrie par rapport à (Ox)
quitte à faire des calculs z'=1/z eqv z=1/z' et

x=x'/(x'^2+y'^2), y=-y'/(x'^2+y'^2)
d'où si y=ax on a y'=-ax'

rem : théoriquement O n'a pas d'image (cf 1/0 n'existe pas )
mais bon on peut parler de point à l'infini
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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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