A*b=b*a

[Anonyme]

Bonsoir à toutes et à tous,

Je suis bien embêté parce que ma petite soeur me demande une démonstration de a*b = b*a,
......et je n'en trouve nulle part.
(plus précisément, elle s'étonne du fait que "a" bâtonnets de "b" cm aient une longueur
exactement égale à "b" bâtonnets de "a" cm, mais ça revient au même).

Alors, après une longue réflexion, j'ai pondu ceci :

soient trois réels a,b,c, tels que a = c/b

Alors, en respectant la place des facteurs dans la multiplication, on a :
a*b = (c/b) * b = c (après la disparition de "b" à la fois facteur et diviseur)
et
b*a = b* (c/b) = c (à nouveau après la disparition de "b" à la fois facteur et diviseur)

donc a*b = c = b*a
et a*b = b*a

A noter que je justifie "la disparition de "b'" à la fois facteur et diviseur" comme ceci
:

d'une part :
(c/b)*b = (c/b)*(b/1) = (c*b)/(b*1)
Or b*1 = 1+1+...+1 (1 additionné "b" fois)
= b
= 1*b
Donc, on peut continuer comme ceci :
(c*b)/(b*1) = (c*b)/(1*b) = (c/1)*(b/b) = c*1 = c (en vertu du même raisonnement qu'avec
b*1=b)
Bref : (c/b)*b = c

D'autre part :
b*(c/b) = (b/1)*(c/b) = (b*c)/(1*b)
et, vu (plus haut) que b*1 = 1*b, on peut continuer par :
(b*c)/(1*b) = (b*c)/(b*1) = (b/b)*(c/1) = 1*c = c
Bref : b*(c/b) = c


Voilà, c'est un peu compliqué pour bien peu de choses, mais je n'ai rien trouvé d'autre.

Mais est-ce bien suffisant ?
D'avance, un grand merci pour vos remarques.

Gibbs.

[Anonyme]

"Gibbs" , dans le message (fr.education.entraide.maths:51990), a écrit :
> Je suis bien embêté parce que ma petite soeur me demande une
> démonstration de a*b = b*a, .....et je n'en trouve nulle part.

Dessine un rectangle.

> Alors, après une longue réflexion, j'ai pondu ceci :


Pas lu, mais je suis sûr que tu utilises implicitement la commutativité.

[reading]

> D'autre part :
> b*(c/b) = (b/1)*(c/b) = (b*c)/(1*b)

Ici.

> Voilà, c'est un peu compliqué pour bien peu de choses, mais je n'ai
> rien trouvé d'autre.

Surtout qu'il existe des multiplications non commutatives... donc tu
n'arriveras pas à trouver une contradiction de façon générale.

--
Xavier, que peut-être je dis une connerie, parce que tu as dit que
b = 1 + ... + 1 (b fois), mais bon.

[Anonyme]

"Gibbs" a écrit dans le message de
news:3fe219cc$0$2814$ba620e4c@reader0.news.skynet.be...
> Bonsoir à toutes et à tous,
>
> Je suis bien embêté parce que ma petite soeur me demande une
démonstration de a*b = b*a,
> .....et je n'en trouve nulle part.
> (plus précisément, elle s'étonne du fait que "a" bâtonnets de "b" cm
aient une longueur
> exactement égale à "b" bâtonnets de "a" cm, mais ça revient au même).

5 x 7 :

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7 x 5 :

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Il me semble que comme justification heuristique, c'est ce qu'on fait de
mieux.
Quant à une preuve formelle, j'ai l'impression que ce n'est pas ce que
ta petite soeur attend.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Bonsoir Stéphane,
Bonsoir Xavier,

Maintenant que vous me parlez de cette histoire de rectangles, ...ça me revient.

Comment ai-je pu oublier ça ? Une fois de plus, j'ai fait compliqué là où je pouvais faire
simple.

Désolé pour le dérangement. Et un grand merci à vous.

Gibbs.

[Anonyme]

J'ai coutume d'appuyer le dessin par un truc comme : quand des soldats
en rang font tous ensemble un quart de tour vers la droite, leur
nombre ne change pas.