Théorie des grouppes

[Anonyme]

Bonjour a tous,

j'ai un probléme de théorie des groupes que je n'arrive pas à résoudre, faut
dire, pour moi c'est trés flou :

Soit G un grouppe fini, p le plus petit nombre premier divisant |G|. Mq tout
sous-groupe de G d'indice p est ditingué.

J'ai une démo pour p=2 en écrivant G = H {union disjointe] xH mais pour le
ca général je bulle.

Merci de votre aide.
Trident.

[Anonyme]

"Trident" , dans le message (fr.education.entraide.maths:60894), a écrit
> Soit G un grouppe fini, p le plus petit nombre premier divisant |G|. Mq tout
> sous-groupe H de G d'indice p est ditingué.

G agit sur G/H, ce qui définit un morphisme f:G->Sym(p).

Soit n le cardinal de Im(f). Alors n divise à la fois p! et |G|, donc
divise le pgcd qui est p. Par conséquent, Im(f) est d'ordre p, et donc
Ker(f) est d'indice p, et, étant contenu dans H qui a le même indice, on a
finalement Ker(f)=H, i.e. H est distingué.

--
Yves

[Anonyme]

> G agit sur G/H,

Bien, je suppose que G agit sur G/H ainsi :
g dans G et yH dans G/H
avec g=xh ou h dans H
g.yH=(xy)H

?!?
Je ne comprend pas pourquoi tout le monde oubli de décrire comment machin
agit sur truc dés qu'il en a l'ocasion, que ce soit en cour en TD...
Ca semble idiot, mais je suis parti sur une action par conjugaison au
début...

> ce qui définit un morphisme f:G->Sym(p).

alors je pense que Sym(p) c'est le groupe des permutations de p éléments.

on a G={union disjointe i de 1 à p} x_i * H

f:G->Sym(p)
à g=x_n * h on assosie s:=q->r, r tel que x_p*x_q=x_r

Jusque là, il me semble que ca peut servir.
Probléme, je ne vois pas en quoi c'est un morphisme.
Sur les x_i, je veux bien, mais je ne vois pas comment généralisé,
on aurait x_p*h*x_q*h'=x_p*x_q*h", ce qui je l'accorde est trés pratique,
mais je ne vois pas en quoi c'est vrai.


Pour la suite, je suis OK.

> Soit n le cardinal de Im(f). Alors n divise à la fois p! et |G|, donc
> divise le pgcd qui est p. Par conséquent, Im(f) est d'ordre p, et donc
> Ker(f) est d'indice p, et, étant contenu dans H qui a le même indice, on a
> finalement Ker(f)=H, i.e. H est distingué.
>
> --
> Yves

Merci,
Trident.

[Anonyme]

C'est bon finalement j'ai pris :

f:G ->Sigma(H_1,...H_p)
g|->{H_i |-> g H_i g^(-1)}

J'en ai profité pour vérifier que c'était bien bijectif...

Encore merci,
Trident.
P¹.S. Quand tu ne trouve pas fait ta vaisselle.
P².S. Heu, oui mais en partiel, on a pas droit à l'évier ?!

[Anonyme]

Trident a écrit :

> P¹.S. Quand tu ne trouve pas fait ta vaisselle.
> P².S. Heu, oui mais en partiel, on a pas droit à l'évier ?!

Si, tu vas au toilettes en emportant une fourchette sale.

RM.