Système de représentants toujours non mesurable ?

[Anonyme]

Bonsoir

Suite à une erreur d'énonciation de l'exemple classique d'un ensemble non
Lebesgue-mesurable de R, je viens de me rendre compte que je ne saurais dire
s'il est possible qu'un système de représentants de R pour la relation
d'équivalence xRy (x-y) rationnel soit mesurable.
(Rappelons que pour montrer la non-mesurabilité dans l'exemple classique on
confine les représentants dans un intervalle borné pour pouvoir utiliser
translation de la mesure, sous-additivité, etc...)

Si qqn a une idée ...

@+

--
Julien Santini

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news: c9ia68$405$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonsoir
>
> Suite à une erreur d'énonciation de l'exemple classique d'un ensemble non
> Lebesgue-mesurable de R, je viens de me rendre compte que je ne saurais
dire
> s'il est possible qu'un système de représentants de R pour la relation
> d'équivalence xRy (x-y) rationnel soit mesurable.
> (Rappelons que pour montrer la non-mesurabilité dans l'exemple classique
on
> confine les représentants dans un intervalle borné pour pouvoir utiliser
> translation de la mesure, sous-additivité, etc...)

S'il est mesurable, son intersection avec [0,1] l'est (si tu considères la
tribu borélienne) et tu trouves ton bon(mal)heur



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[Anonyme]

> S'il est mesurable, son intersection avec [0,1] l'est (si tu considères la
> tribu borélienne) et tu trouves ton bon(mal)heur
>

(Malheur)
Aïeeeeeee et dire que je m'en suis rendu compte pendant le jogging ! Bon je
ferais mieux la prochaine fois ...

Tiens puisque j'y suis ... est-il démontré que l'on ne peut exhiber
d'ensemble non mesurable de R sans utiliser l'axiome du choix ?? Parce que
des fois je lis que oui, des fois je lis que personne n'a pu en trouver un
de la sorte mais qu'il n'est pas sûr qu'il n'en existe pas, en fait tout et
n'importe quoi ...

--
JS, c'est pas de très bonne augure pour l'exam d'intégration de demain tout
ça ...

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news: c9idfc$g6n$1@news-reader4.wanadoo.fr...[color=green]
> > S'il est mesurable, son intersection avec [0,1] l'est (si tu considères[/color]
la[color=green]
> > tribu borélienne) et tu trouves ton bon(mal)heur
> >
>
> (Malheur)
> Aïeeeeeee et dire que je m'en suis rendu compte pendant le jogging ! Bon[/color]
je
> ferais mieux la prochaine fois ...
>
> Tiens puisque j'y suis ... est-il démontré que l'on ne peut exhiber
> d'ensemble non mesurable de R sans utiliser l'axiome du choix ?? Parce que
> des fois je lis que oui, des fois je lis que personne n'a pu en trouver un
> de la sorte mais qu'il n'est pas sûr qu'il n'en existe pas, en fait tout
et
> n'importe quoi ...
>
> --
> JS, c'est pas de très bonne augure pour l'exam d'intégration de demain
tout

A ma connaissance, l'exhibition d'ensemble non mesurable est intimement lié
à l'axiome du choix (j'avais lu cela dans un article d'un logicien dans la
collection point science du seuil, je ne rappelle plus le titre mais cela
parlait de problèmes fondamentaux des mathématiques)

Une solution pour t'entrainer : regarde la Ferme, tu auras la certitude de
ne te griller aucun neurone et avec un peu de chance tu te décontracte

Par exemple, : il y a quelques jours, Vincent MacDoom (qui est légèrement de
la jacquette) est en plein discussion avec Olmeta (qui ne l'est pas
franchement). Olmeta lui demande de déplacer une broute sur un terrain
complètement boueux. Mc Doom, qui est en talon aiguille, rechigne et là
Olmeta lui déclare : "tu n'en es pas une quand même donc tu peux le faire".
Dans la seconde qui suit, Olmeta regardant McDoom se rend compte de sa
gaffe, un léger flottement apparait et McDoom déclare : "bien entendu, non "
!

Vas-y, ils sont en train de parler d'Orwell



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[Anonyme]

"Masterbech" , dans le message (fr.education.entraide.maths:56240), a
écrit :
> S'il est mesurable, son intersection avec [0,1] l'est (si tu considères la
> tribu borélienne) et tu trouves ton bon(mal)heur

Ton argument est un peu léger: l'intersection avec [O,1] peut très bien
être vide.

Voici un argument pour montrer qu'un système de représentants de R/Q ne
peut être lebesgue-mesurable: d'abord, comme la réunion des Q-tranlatés
recouvre R, un tel ensemble ne peut être de mesure nulle. Donc il existe n
tel que l'intersection I avec [n,n+1[ est de mesure non nulle. Mais alors,
en prenant la réunion des r-translatés de I pour r rationnel dans [0,1],
on obtient un borné de mesure infinie, contradiction.

--
Yves

[Anonyme]

>
> Voici un argument pour montrer qu'un système de représentants de R/Q ne
> peut être lebesgue-mesurable:

C'est ce qui était clairement sous-entendu dans les posts précédents non ?
Il suffisait de se ramener à un borné ...

@+

[Anonyme]

> C'est ce qui était clairement sous-entendu dans les posts précédents non ?
> Il suffisait de se ramener à un borné ...

Mmm... pourquoi pas... ça ne me paraissait pas si évident que c'était
sous-entendu, mais soit.


Au fait, pour l'axiome du choix: si ZFI est consistant, où ZFI= {ZF + il
existe un cardinal inaccessible}, alors {ZF+ axiome du choix dénombrable
+ tout partie de R est lebesgue-mesurable} est consistant (Solovay, 1966).


--
Yves

[Anonyme]

"Yves De Cornulier" a écrit dans le message de
news: c9iga5$1u1k$1@nef.ens.fr...
> "Masterbech" , dans le message (fr.education.entraide.maths:56240), a
> écrit :[color=green]
> > S'il est mesurable, son intersection avec [0,1] l'est (si tu considères[/color]
la[color=green]
> > tribu borélienne) et tu trouves ton bon(mal)heur
>
> Ton argument est un peu léger: l'intersection avec [O,1] peut très bien
> être vide.[/color]

cela me parait clair que l'on peut toujour supposer que S contienne [0,1]/Q
(classe des représentants de [0,1]) car pour tout réel x, il existe un
entier n tel que x-n soit dans [0,1] (n=E(x)) donc x modQ= (x-n) modQ

--
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[Anonyme]

"Julien Santini" , dans le message (fr.education.entraide.maths:56241),
a écrit :
> Tiens puisque j'y suis ... est-il démontré que l'on ne peut exhiber
> d'ensemble non mesurable de R sans utiliser l'axiome du choix ?

Oui.

[Anonyme]

>> Tiens puisque j'y suis ... est-il démontré que l'on ne peut exhiber[color=green]
>> d'ensemble non mesurable de R sans utiliser l'axiome du choix ?
>
> Oui.[/color]

Oui, si on parle d'ensemble non boréliens.

--
Yves

[Anonyme]

Yves De Cornulier, dans le message (fr.education.entraide.maths:56267),
a écrit :
> Oui, si on parle d'ensemble non boréliens.

J'ai jamais bien compris en fait ce que l'on appelait « boréliens »,
ce sont ceux qui sont dans la tribu engendrée par les ouverts ? ou ceux
qui sont dans la tribu complétée ?

En tout cas, il me semble que, du moins pour des raisons de cardinalité,
la première de ces tribus ne peut jamais être tout P(R), alors que la
seconde, si.

--
Xavier, qui dis peut-être n'importe quoi.

[Anonyme]

> J'ai jamais bien compris en fait ce que l'on appelait « boréliens »,
> ce sont ceux qui sont dans la tribu engendrée par les ouverts ?

oui

[Anonyme]

> J'ai jamais bien compris en fait ce que l'on appelait « boréliens »,
> ce sont ceux qui sont dans la tribu engendrée par les ouverts ? ou ceux
> qui sont dans la tribu complétée ?

Les premiers sont les boréliens, les seconds sont les ensembles
Lebesgue-mesurables.

> En tout cas, il me semble que, du moins pour des raisons de cardinalité,
> la première de ces tribus ne peut jamais être tout P(R), alors que la
> seconde, si.

Effectivement.

--
Yves

[Anonyme]

> > "Masterbech" , dans le message (fr.education.entraide.maths:56240), a[color=green]
> > écrit :[color=darkred]
> > > S'il est mesurable, son intersection avec [0,1] l'est (si tu[/color][/color]
considères
> la[color=green][color=darkred]
> > > tribu borélienne) et tu trouves ton bon(mal)heur
> >
> > Ton argument est un peu léger: l'intersection avec [O,1] peut très bien
> > être vide.[/color]
>
> cela me parait clair que l'on peut toujour supposer que S contienne[/color]
[0,1]/Q
> (classe des représentants de [0,1]) car pour tout réel x, il existe un
> entier n tel que x-n soit dans [0,1] (n=E(x)) donc x modQ= (x-n) modQ


Si tu remplaces x par sa partie fractionnaire ce n'est plus le même
ensemble!

--
Maxi

[Anonyme]

>
> Si tu remplaces x par sa partie fractionnaire ce n'est plus le même
> ensemble!

c'est vrai, mais si l'un est mesurable, l'autre aussi et ils ont même
mesure, donc on ne modifie pas le problème
--
*********************
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Nouveautés :
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