Systeme d'équations différentielles

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai à résoudre le système:

(z')^2=k^2*racine(1+(y')^2+(z')^2) (1)
(y')^2=c^2*racine(1+(y')^2+(z')^2 (2)

avec y'=dy/dx et z'=dz/dx
k et sont des constantes

J'ai multiplié (1) par c^4 et (2) par k^4 et fait (1)-(2)

J'obtient (z')^2=+-(k^2/c^2)*(y')^2

mais je ne sais pas comment continuer.

Merci d'avance pour votre aide.

Ariane

[Anonyme]

Le 18/01/04 01:43 , Ariane a exprimé son opinion en les termes suivants:
> Bonjour,

Bonjour,

> J'ai à résoudre le système:
>
> (z')^2=k^2*racine(1+(y')^2+(z')^2) (1)
> (y')^2=c^2*racine(1+(y')^2+(z')^2 (2)
>
> avec y'=dy/dx et z'=dz/dx
> k et sont des constantes
>
> J'ai multiplié (1) par c^4 et (2) par k^4 et fait (1)-(2)

Avant cela, je pense qu'il faut faire le cas c=0 ou k=0. A moins qu'il
soit impossible que ces constantes prennent cette valeur.

> J'obtient (z')^2=+-(k^2/c^2)*(y')^2
>
> mais je ne sais pas comment continuer.

Bon, j'ai pas envie de faire les calculs, mais ce que je tenterais et
qui m'a l'air de marcher, c'est de réinjecter ta nouvelle équation dans
(2). Tu fais disparaitre le (z')². Ensuite, tu mets ton équation au
carré et tu obtiens que y' est racine d'un polynôme de degré 4 'mais
uniquement avec des puissances paires donc tu peux en trouver les
racines). En gros, y' doit appartenir à un ensemble discret d'au plus 4
éléments et si les hypothèses de régular(ité te disent que y' est
continue, alors y' est constant....

Je te laisse terminer. Dis moi si ça marche.

> Merci d'avance pour votre aide.

De rien.

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Le paradis existe, le lion et l'agneau partagent la meme couche. Mais
l'agneau ne dort pas beaucoup. C'est dérivé de W.Allen, je crois.

[Anonyme]

Ariane a écrit :
> (z')^2=k^2*racine(1+(y')^2+(z')^2) (1)
> (y')^2=c^2*racine(1+(y')^2+(z')^2 (2)
> J'obtient (z')^2=+-(k^2/c^2)*(y')^2

(Si tu divises 1 par 2 tu obtiens ça aussi,...)

A partir de ça tu peux discrètement tenter de faire "comme les
physiciens" (ce passage se justifie néanmoins par la "chain rule" je
crois):
(dz/dx / dy/dx)^2 = (dz/dy)^2 = k^2/c^2 et alors dz/dy = ±k/c, donc z =
±k y/ c + A

Evidemment il faut faire gaffe: si dy/dx s'annule quelque part ça
marchera pas de ce côté là (et Maxi va me faire des misères ),
heureusement l'équation 2 nous apprend que ça s'annulera pas pour peu
que c^2 soit sage.

Ensuite il faut se débrouiller pour réintroduire la paramétrisation en
x:
(dz/dx)^2=k^2*racine(1+(dy/dx)^2+(dz/dx)^2)

(dy/dx)^2=c^2*racine(1+(dy/dx)^2+ k^2/c^2 (dy/dx)^2)
On tombe bien sur l'équation en (dy/dx)^2 dont parlait Denis, et là boum
boum tagada...

--
Nico.

[Anonyme]

Ca marche merci beaucoup à vous deux.

Ariane


>[color=green]
>>(z')^2=k^2*racine(1+(y')^2+(z')^2) (1)
>>(y')^2=c^2*racine(1+(y')^2+(z')^2 (2)
>>J'obtient (z')^2=+-(k^2/c^2)*(y')^2
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>[/color]