Système différentiel & Laplace

[Anonyme]

Salut,

Pourriez vous m'indiquer par où commencer pour résoudre le problème suivant :

(S) : dx/dt = 5x - 6y
dy/dt = 2x - 2y

Conditions initiales : x(0) = 1
y(0) = 1

Résoudre le système différentiel (S) en utilisant la transformée de Laplace.

Un GRAND merci pour tous ce qui m'aiderons !!!
Kluxis

[Anonyme]

> Pourriez vous m'indiquer par où commencer pour résoudre le problème
suivant :
>
> (S) : dx/dt = 5x - 6y
> dy/dt = 2x - 2y
>
> Conditions initiales : x(0) = 1
> y(0) = 1
>
> Résoudre le système différentiel (S) en utilisant la transformée de
Laplace.

Tout est dans l'indication: applique la transformée de Laplace à chacune de
tes équations. Ca va te transformée la dérivée en quelquechose qui est dans
ton cours.

--
Julien

[Anonyme]

"Maxi" wrote in message news:...[color=green]
> > Pourriez vous m'indiquer par où commencer pour résoudre le problème
> suivant :
> >
> > (S) : dx/dt = 5x - 6y
> > dy/dt = 2x - 2y
> >
> > Conditions initiales : x(0) = 1
> > y(0) = 1
> >
> > Résoudre le système différentiel (S) en utilisant la transformée de
> > Laplace.
>
> Tout est dans l'indication: applique la transformée de Laplace à chacune de
> tes équations. Ca va te transformée la dérivée en quelquechose qui est dans
> ton cours.[/color]

Je te remercie pour le coup de main, mais si j'aurais eu un cours
devant les yeux, je serai pas entrain de demander de l'aide (enfin je
pense)

[Anonyme]

"Kluxis" a écrit dans le message de
news:f788d93c.0310291529.1857e4bb@posting.google.com...
> "Maxi" wrote in message
news:...[color=green][color=darkred]
> > > Pourriez vous m'indiquer par où commencer pour résoudre le problème
> > suivant :
> > >
> > > (S) : dx/dt = 5x - 6y
> > > dy/dt = 2x - 2y
> > >
> > > Conditions initiales : x(0) = 1
> > > y(0) = 1
> > >
> > > Résoudre le système différentiel (S) en utilisant la transformée de
> > > Laplace.
> >
> > Tout est dans l'indication: applique la transformée de Laplace à chacune[/color][/color]
de[color=green]
> > tes équations. Ca va te transformée la dérivée en quelquechose qui est[/color]
dans[color=green]
> > ton cours.
>
> Je te remercie pour le coup de main, mais si j'aurais eu un cours
> devant les yeux, je serai pas entrain de demander de l'aide (enfin je
> pense) [/color]

On suppose que (S) possede une solution admettant une transformée de Laplace
notée (X;Y)
Notons L l'opérateur de laplace
On sait que L(dx/dt)(p)=p*L(x)(p)-x(0) donc ici L(dx/dt)(p)=p*X(p)-1
De même L(dy/dt)(p)=p*L(y)(p)-y(0) donc ici L(dy/dt)(p)=p*Y(p)-1
On remplaçant et en utilisant le caractère linéaire de L on obtient:
p*X(p)-1=5X(p)-6Y(p)
p*Y(p)-1=2X(p)-2Y(p)

On obtient un systeme (non différentiel) facile à résoudre
On obtient: (a vérifier car je n'ai pas de stylo!) X(p)=(p-8)/(p^2-7p+22) et
Y(p)=(p-3)/(p^2-7p+22)

Il reste à determiner l'original de X et Y
Pour cela on utilise la forme canonique: p^2-7p+22=(p-7/2)^2+39/4

etc...

[Anonyme]

Kluxis wrote:
> (S) : dx/dt = 5x - 6y
> dy/dt = 2x - 2y
> Conditions initiales : x(0) = 1
> y(0) = 1
> Résoudre le système différentiel (S) en utilisant la transformée de Laplace.

Ah ouais, y'aura les valeurs initiales.
En coordonnées de Laplace,tu auras
pX(p)=5X(p) - 6Y(p)
pY(p)=2X(p) - 2Y(p)
Ce qui te donne X(p) et Y(p)
ensuite tu intègres avec un formulaire ne n'oubliant pas le théorème de la
valeur initiale.