Sup: espace vectoriel

[Anonyme]

Soit H=Vect((A,B,C)) avec A=(1,2,3,1) , B=(6,1,2,0) C=(4,-3,-4,-2) troix
vecteurs de C^4 .

On me demande de donner une base de H je remarque qu' on peut exprimer C en
fonction de A et B donc H=Vect((A,B)) par exemple.

On me demande de trouver un supplémentaire de H ( on pourra completer la
base de H par des vecteurs de la base canonique).
Voila la ca ce gate je ne vois pas quel vecteur ajouter ...

si quelqu' un peut m' aider ... Merci d' avance

[Anonyme]

Romain :

> Soit H=Vect((A,B,C)) avec A=(1,2,3,1) , B=(6,1,2,0)
> C=(4,-3,-4,-2) troix vecteurs de C^4 .

> On me demande de donner une base de H je remarque qu' on peut
> exprimer C en fonction de A et B donc H=Vect((A,B)) par exemple.

N'oublie pas que (A,B) est libre.

> On me demande de trouver un supplémentaire de H ( on pourra
> completer la base de H par des vecteurs de la base canonique).

(A,B) est libre dans C^4, on la complète en une base de C^4
(A,B,C,D) (thm. de la base incomplète)
alors Vect(C,D) est le supplémentaire de H.


Soit e1, e2, e3, e4 les vecteurs de la base canonique de C^4.
A = e1 + 2e2 + 3e3 + e4
B = 6e1 + e2 + 2e3

e1 + 2e2 = A - 3e3 - e4
e2 + 6e1 = B - 2e3

donc en prenant e1 et e2 comme inconnues :
e1 s'écrit comme combinaison linéaire de A,B,e3,e4
e2 s'écrit comme combinaison linéaire de A,B,e3,e4.

(A,B,e3,e4) est donc génératrice et de card 4, c'est une base.

et Vect(e3,e4) est le supplémentaire cherché.

--
Michel [overdose@alussinan.org]