Sup : espace vectoriel

[Anonyme]

Soit f : R^3 ----> R^2
qui a (x,y,z)ds R^3 associe ( 2x+3y+z, y-z )

J ' ai montré que c' était une fonction linéaire sans trop de pb
j' ai doné ensuite un paramétrage de ker f
on me demande ensuite de montrer que Im f = R^2

me suffit t-il de dire que f est surjective donc Im f = R^2
si oui comment montré qu elle est surjective ? est ce par definition ?


Merci

[Anonyme]

Romain a écrit :
> Soit f : R^3 ----> R^2
> qui a (x,y,z)ds R^3 associe ( 2x+3y+z, y-z )
> me suffit t-il de dire que f est surjective donc Im f = R^2

Im f = R^2 est la définition de la surjectivité dans ce cas.

> si oui comment montré qu elle est surjective ? est ce par definition ?

Il suffit de montrer que Im f = R^2
On remarque que (2x+3y+z,y-z) = x (2,0) + y (3,1) + z (1,-1), càd une
combili.
Donc quand x,y,z parcourt le domaine, R^3, on a que Im f = vect{(2,0);
(3,1); (1,-1)}
Il suffit de voir que ce vectoriel est égal à R^2... par exemple en
voyant qu'on a une base de R^2 "cachée" là-dedans.

--
Nico.

[Anonyme]

> si oui comment montré qu elle est surjective ? est ce par definition ?

Si tu connais le théorème du rang, tu peux l'utiliser vu que la première
question devrait te permettre de trouver la dimension de ker f sans trop de
problèmes.

--
Maxi

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :
> Romain a écrit :
>[color=green]
>>Soit f : R^3 ----> R^2
>>qui a (x,y,z)ds R^3 associe ( 2x+3y+z, y-z )
>>me suffit t-il de dire que f est surjective donc Im f = R^2
>
>
> Im f = R^2 est la définition de la surjectivité dans ce cas.
>
>
>>si oui comment montré qu elle est surjective ? est ce par definition ?
>
>
> Il suffit de montrer que Im f = R^2
> On remarque que (2x+3y+z,y-z) = x (2,0) + y (3,1) + z (1,-1), càd une
> combili.
> Donc quand x,y,z parcourt le domaine, R^3, on a que Im f = vect{(2,0);
> (3,1); (1,-1)}
> Il suffit de voir que ce vectoriel est égal à R^2... par exemple en
> voyant qu'on a une base de R^2 "cachée" là-dedans.
>[/color]

vect{ (2,0);(3,1);(1,-1) } = vect{ (2,0);(1,-1) } car (3,1)=2*(2,0)-(1,-1)
et pour tout (a,b) de IR^2
(a,b)=(a+b)/2 * (2,0) - b * (1,-1)

[Anonyme]

Romain wrote:
> qui a (x,y,z)ds R^3 associe ( 2x+3y+z, y-z )

> on me demande ensuite de montrer que Im f = R^2

(x,y) = f(x/2 - 3/2*y, y , 0)


--
Romain