[T s] Suites adjacentes: U(2n)

[Anonyme]

Bonjour à tous et bonne année!!!

Voilà, j'ai un problème de maths à rendre à la fin des vacances et je suis
arrivée à la fin des questions.

Malheureusement je bloque sur la dernière qui est on ne peut plus facile. Le
problème c'est que je ne l'ai jamais vu en exo et je sais pas vraiment
comment rédiger.

Voilà (comme je connais pas la notation pour les racinnes ², j'ai noté
rac(x) la racinne de x):

On a U(n+1)= rac(2-U(n) ) et U(0)= 0

V(n+1)= rac(2- rac(2-V(n) )) et V(0)=0

W(n+1)=rac(2- rac(2-W(n) )) et W(0)= rac(2)

(Auparavant on a déduit que Wn et Vn sont adjacentes)

La question est: ~ Vérifier que U(2n)=V(n) et U(2n+1)=W(n) ~


Merci d'avance pour votre aide...

[Anonyme]

SAnkhhA a écrit :
> Voilà (comme je connais pas la notation pour les racinnes ², j'ai noté
> rac(x) la racinne de x):

Au passage, la notation 'standard' est plutôt sqrt (de l'anglais 'square
root').

> On a U(n+1)= rac(2-U(n) ) et U(0)= 0
> V(n+1)= rac(2- rac(2-V(n) )) et V(0)= 0
> W(n+1)=rac(2- rac(2-W(n) )) et W(0)= rac(2)

> La question est: ~ Vérifier que U(2n)=V(n) et U(2n+1)=W(n) ~

Il suffit d'écrire les choses par récurrence. Je te fais le premier:

U(0) = V(0) par définition

Montrons maintenant que [U(2n) = V(n)] => [U(2n+2) = V(n+1)]
En effet,
U(2n+2) = sqrt(2 - U(2n+1)) Par la déf de U.
= sqrt(2 - sqrt(2 - U(2n))) Par la déf de U.
= sqrt(2 - sqrt(2 - V(n))) Par hypothèse de récurrence.
= V(n+1) Par la déf de V.

Ce qui prouve la propriété pour tout n \in N.

Ca me parait bien suffisant...

--
Nico.

[Anonyme]

Ok merci beaucoup ;D