La somme de 2 irrationnels est-elle tjrs un irrationnel ?

[Anonyme]

quelqu'un sait-il répondre avec une justification à "La somme de 2
irrationnels est-elle toujours un irrationnel ?"
Si oui pouvez vous me répondre afin de sauvez ma vie ?(ou plutot mon dm !!!)

[Anonyme]

marco wrote:

> quelqu'un sait-il répondre avec une justification à "La somme de 2
> irrationnels est-elle toujours un irrationnel ?"
> Si oui pouvez vous me répondre afin de sauvez ma vie ?(ou plutot mon dm
> !!!)

Bon je n'ai pas toujours eu de supers notes en maths mais je pense que ce
raisonement est correct :

(1) La some d'un rationnel et d'un irationnel est un irationnel.
Demonstration par l'absurde :
Soir r un rationnel, r = p/q (p et q entiers et q != 0 )
Soir i un irationnel.

Supposons que :
i + r = l/m (l, m entiers et m != 0 c'est à dire r + i est rationnel)
alors par suite :
i + p/q = l/m (notre hypothese est que r est rationnel )
q.i + p = (q.l)/m
q.i = (q.l)/m - p
q.i = (q.l - p.m)/m
i = (q.l - p.m)/(q.m)

Or q,l,p,m etant tous des entiers, q.l - p.m et q.m sont des entiers et de
plus q et m sont non nuls (hypotheses) donc q.m l'est aussi.

Par consequent i est rationnel !
C'est absurde donc notre hypothese de depart est fausse ...
Et la contraposée est vraie.

(2) Maintenant plus facile :
Soir r un rationnel et i un irationnel.

On a bien r + i - i = r

Soit aussi : (r-i) + i = r
Or d'apres (1) r-i etant la somme d'un rationnel et d'un irationnel est lui
même irationnel.
De plus i est bien irationnel par hypothese.
Or leur somme est rationnelle (r) donc on construit une infinitée d'exemple
montrant que :
"La somme de 2 irrationnels n'est pas toujours irrationnelle."

Essayes avec (1 - PI) + PI par exemple.
La somme donne 1, et pourtant 1-PI et PI sont irrationnels.

Bonne nuit !
Florent

PS: Je sens que je vais faire des rêves moisis ...