Somme d'evs

[Anonyme]

Hello,

Un ami me demande de l'aider, mais ça fait qq temps que je n'ai pas
fait de maths.

Soit E un ev (R^3 par exemple) , F = Vect(v1,v2,v3) et G = Vect(v4,v5).
On me demande de calculer la dimension de F, G, F + G et F inter G.
(les vecteurs sont données par leur valeur concrête que je ne
réecris pas ici).

Pouvez vous me dire si ma méthode est la plus simple (je n'en vois pas
d'autre, mais on ne sait jamais).

Pour F :
Je regarde si la famille v1,v2,v3 est libre (je ne veux pas utiliser le
determinant). Je considere l'equation a.v1 + b.v2 + c.v3 = 0.
Soit elle n'admet que l'unique solution a = b = c = 0 et la famille est
libre et dim(F) = 3. Soit elle ne l'est pas, et je trouve au passage un
vecteur combinaison linéaire des deux autres (disons voir v3).
J'ai alors F = Vect(v1,v2) et je réitère le processus.

Idem pour G.

Pour F + G, je remarque que v1,...,v5 engendre F + G et je procède
comme avant. La ça fait 5 vecteurs donc ça commence à être
pénible.
L'autre méthode est de determiner le rang de la matrice de v1,...,v5
à l'aide d'opérations qui preservent le rang, mais je pense pas qu'il
connaisse déjà cette méthode.
Est-ce qu'à partir du systeme a1.v1 + ... + a5.v5 = 0 je peux
facilement voir le rang de la famille (sans doute en mettant également
sous forme
triangulaire non ?) ?

Pour F inter G, je peux appliquer directement la formule dim(F inter G)
= ....

Quelle serait l'autre méthode ?
Parmi les 5 vecteurs v1,...,v5 je regarde systématiquement lesquels
sont à la fois dans F et dans G en résolvant à chaque fois un
systeme
du style (v1 = a v4 + b v5). Admettons, que seuls u,v,w sont dans F et
dans G. J'ai alors vect(u,v,w) inclus dans F inter G. Comment
justifier
que la réciproque est vraie ?


Pour finir, si j'ai une famille v1,...,vn que je sais être libre.
Et qu'on me demande de montrer que v1,...,vn,u est libre. Quelle
est la manière la plus simple de faire ça ? je considére l'équation
u = a1.v1 + ... + an.vn et je montre qu'elle n'a pas de solution ?


Merci d'avance

JS