[MP] somme directe de sev

[Anonyme]

Bonsoir à tous,

J'ai un petit problème de vocabulaire :

Soit E un esp vect , F et F' deux sous esp vect de E.

J'ai du mal a saisir la différence entre "F et F' sont en somme directe" et
"F et F' sont supplémentaires"

Dans un bouquin j'ai la définition suivante :

# F et F' sont en somme directe si
- F+F' = E et
- (F inter F') = {0}


#F et F' sont supplémentaires si
- ils sont en somme directe
- leur somme est égale à E

Soit j'ai un pb ds le bouquin soit je comprend pas. Please HELP !!

merci pour votre aide

[Anonyme]

ultrawave explique avoir lu:

> # F et F' sont en somme directe si
> - F+F' = E et
> - (F inter F') = {0}

La définition que tu as recopiée est fausse: la première condition n'a
rien à voir avec les sommes directes. Une définition convenable serait :

F et F' sont en somme directe si leur intersection est {0}.

--
BR

[Anonyme]

ultrawave a écrit :

> J'ai du mal a saisir la différence entre "F et F' sont en somme directe" et
> "F et F' sont supplémentaires"

En général, on dit que F et F' sont supplémentaire *dans E*, pour
spécifier que F et F' sont en somme directe (F inter F' = {0}) et que F
+ F' = E. Si on ne dit pas "dans E", on le dit implicitement.

[Anonyme]

Benoit Rivet wrote:
> ultrawave explique avoir lu:
>
>[color=green]
>># F et F' sont en somme directe si
>>- F+F' = E et
>>- (F inter F') = {0}
>
>
> La définition que tu as recopiée est fausse: la première condition n'a
> rien à voir avec les sommes directes. Une définition convenable serait :
>
> F et F' sont en somme directe si leur intersection est {0}.
>[/color]
E1,...,En en somme directe ssi E1+...+En=E1+°...+°En (où +° est
l'opérateur pour la somme directe).
Mais ca n'implique pas que leur somme fasse E en entier !!
(les sous-espace propres sont en somme directe mais leur somme n'est pas
forcément tout l'espace).

[Anonyme]

Dans ce cas pourquoi #somme# directe ? je vois pas pourquoi on parle de
somme s'il n'en est pas question dans la définition; est-ce une bizarrerie
mathématique?

"Benoit Rivet" a écrit dans le message de
news: 1gq75sg.1l20tkhg9nxrN%benoit.rivet@libre.fr.invalid...
> ultrawave explique avoir lu:
>[color=green]
>> # F et F' sont en somme directe si
>> - F+F' = E et
>> - (F inter F') = {0}
>
> La définition que tu as recopiée est fausse: la première condition n'a
> rien à voir avec les sommes directes. Une définition convenable serait :
>
> F et F' sont en somme directe si leur intersection est {0}.
>
> --
> BR[/color]

[Anonyme]

ultrawave a écrit :

> Dans ce cas pourquoi #somme# directe ? je vois pas pourquoi on parle de
> somme s'il n'en est pas question dans la définition; est-ce une bizarrerie
> mathématique?

En fait, une définition équivalente à "somme directe" (et plus logique,
comme tu peux le remarquer, terminologiquement parlant) est de dire que
E et F sont en somme directe si tout vecteur appartenant à leur somme
(E+F) s'écrit de manière *unique* comme somme d'un élément de E et d'un
élément de F.
Cela revient également à dire que E+F est isomorphe à ExF (produit
cartésien). Ce qui signifie, là, que considérer la somme E+F revient au
même que de considérer les deux espaces E et F pris séparément.

Par exemple, R et iR sont en somme directe. Leur somme donne l'espace C
des complexes, et on sait bien que considérer un complexe, c'est pareil
que de considérer sa partie réelle d'une part, et sa partie imaginaire
d'une autre (sauf quand on fait des multiplications, mais cette
opération ne fait pas partie du panel d'un espace vectoriel).

--
"Yo!"
Martin Heidegger