Serie dure

[Anonyme]

Bonjour,

on demande la nature de la serie de terme general

(-1)^(E(log(n))) /n^a , a dans R.

Bon jusqu'a là j'avais à faire à des parties entieres de racine de n etc donc
c'etait plus facile, mais là:
j'ai E(log(n))<=log(n)<E(log(n))+1

je pose p=E(log(n)) j'ai donc

exp(p)<=n<=exp(p+1)-1

et là le groupement de terme marche pas trop car c'est pas tres orthodoxe de
sommer de k=exp(p) à k=exp(p+1)-1 sachant que ce ne sont pas des entiers.

comment fait on?

merci

[Anonyme]

> on demande la nature de la serie de terme general
>
> (-1)^(E(log(n))) /n^a , a dans R.

Si a0, la série n'est pas de Cauchy (on utilise que E(log(n)) donne (le
nombre de chiffres dans le développement décimal de n) moins un).

sum((-1)^(E(log(n))) /n^a,n=1..9999) =
1/1^a+1/2^a+...+1/9^a+
-1/10^a - ... - 1/99^a+
1/100^a+...+1/999^a+
-1/1000^a-...-1/9999^a+ etc...

et en considérant la valeur absolue de chaque tranche:
1/10^(k*a)+...+1/(10^(k+1)-1)^a >=
1/2+1/3+...+1/10.

Au passage, j'ai considéré que l'on parle ici du logarithme en base 10 et
non du logarithme népérien.

--
Julien Santini

[Anonyme]

> et en considérant la valeur absolue de chaque tranche:
> 1/10^(k*a)+...+1/(10^(k+1)-1)^a >=
> 1/2+1/3+...+1/10.

Lire: 1/2^a+1/3^a+...+1/10^a

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message news:
bk2i68$92h$1@news-reader2.wanadoo.fr...[color=green]
> > on demande la nature de la serie de terme general
> >
> > (-1)^(E(log(n))) /n^a , a dans R.
>
> Si a
> Si a>0, la série n'est pas de Cauchy (on utilise que E(log(n)) donne (le
> nombre de chiffres dans le développement décimal de n) moins un).
>[/color]

Ton résultat m'étonne : si a>1 la série est absolument convergente.

[Anonyme]

> > Si a>0, la série n'est pas de Cauchy (on utilise que E(log(n)) donne (le[color=green]
> > nombre de chiffres dans le développement décimal de n) moins un).
> >
>
> Ton résultat m'étonne : si a>1 la série est absolument convergente.
>[/color]

En effet la fin du raisonnement est faux (dans la minoration de la valeur
absolue de la tranche, j'ai oublié un facteur) mais je crois que ça se
corrige facilement , et la bonne conclusion serait:

-quand a>0, si a>1 ça converge donc absolument (riemann).
Si a=
1/10^(k*a)*(1/1+1/(10^(k*a)+1)+...+1/(2*10^(k*a)-1)+...)>=
1/10^(k*a)*(10^k*1/2^a + 10^k*1/3^a+... + 10^k*1/10^a)>=
10^(k*(1-a))*(Le_Truc)
et donc la minoration aboutit lorsque a<=1, et notre série n'est alors pas
de Cauchy...

A verifier..
--
Julien Santini

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message news:
bk2skd$i7q$1@news-reader1.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
> > > Si a>0, la série n'est pas de Cauchy (on utilise que E(log(n)) donne[/color][/color]
(le[color=green][color=darkred]
> > > nombre de chiffres dans le développement décimal de n) moins un).
> > >
> >
> > Ton résultat m'étonne : si a>1 la série est absolument convergente.
> >[/color]
>
> En effet la fin du raisonnement est faux (dans la minoration de la valeur
> absolue de la tranche, j'ai oublié un facteur) mais je crois que ça se
> corrige facilement , et la bonne conclusion serait:
>
> -quand a>0, si a>1 ça converge donc absolument (riemann).
> Si a minoration, et la série n'est pas de Cauchy), ça donne:
> 1/10^(k*a)+...+1/10^(((k+1)*a)-1)>=
> 1/10^(k*a)*(1/1+1/(10^(k*a)+1)+...+1/(2*10^(k*a)-1)+...)>=
> 1/10^(k*a)*(10^k*1/2^a + 10^k*1/3^a+... + 10^k*1/10^a)>=
> 10^(k*(1-a))*(Le_Truc)
> et donc la minoration aboutit lorsque a de Cauchy...
>
> A verifier..[/color]


Ca concorde avec ce que je trouve : si a --
> Julien Santini
>
>
>[/color]