Réduction

[Anonyme]

bonjour je sui en mpsi et je commence la réduction voici un exercice sur
lequel je bloque mais qui doit etre assez simple seulement je ne sais pas
trop comment procéder

soit f un endo de R[X] défini par
pour P dans R[X]
f(P)=(X+1)(X-3)P' - XP

il faut trouver les vecteurs propres et les valeurs propres de f
mon problème est que je ne sais pas comment raisonner dans cet exercice.
dois supposer l'existence d'une valeur propre et trouver des conditions sur
ses possibles vecteurs propres? je ne sais pas si mais conditions
nécessaires portent sur la valeur propre ou ses vecteurs ou bien les deux
merci de votre aide

[Anonyme]

> soit f un endo de R[X] défini par
> pour P dans R[X]
> f(P)=(X+1)(X-3)P' - XP

"
Considerons lambda une valeur propre de f (si une
telle valeur existe). Il existe alors un polynome
P non nul tel que f(P)=lambda P. Alors ...
"

JQCA, Amities, Olivier

[Anonyme]

"Olivier" a écrit dans le message de news:
42622cc2$0$25032$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> soit f un endo de R[X] défini par
>> pour P dans R[X]
>> f(P)=(X+1)(X-3)P' - XP
>
> "
> Considerons lambda une valeur propre de f (si une
> telle valeur existe). Il existe alors un polynome
> P non nul tel que f(P)=lambda P. Alors ...
> "
>
> JQCA, Amities, Olivier
>[/color]
voila mopn raisonnenement
s'il existe P non nul tq f(P)=kP soit n le degré de P (an non nul)
alors (X+1)(X-3)P' - XP = kP
donc en particulier
n*an-an=0 or an non nul donc n=1
donc P=AX+B
donc j'obitens le système suivant
-2A-B=kA
-3A=kB
d'ou
(k+2)A=-B
3A=-kB
donc [k(k+2)-3]B=0
3A=-kB
si B=0 alors A=0 donc absurde car P non nul
donc Bnon nul
donc k(k+2)=3 d'ou k=-3 ou k=1
et après je trouve des conditions sur P qui récirpoquement vérifie l'égalité
de départ
ceci vous semble t il correct?

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
4262333e$0$11702$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Olivier" a écrit dans le message de news:
> 42622cc2$0$25032$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
> >> soit f un endo de R[X] défini par
> >> pour P dans R[X]
> >> f(P)=(X+1)(X-3)P' - XP
> >
> > "
> > Considerons lambda une valeur propre de f (si une
> > telle valeur existe). Il existe alors un polynome
> > P non nul tel que f(P)=lambda P. Alors ...
> > "
> >
> > JQCA, Amities, Olivier
> >[/color]
> voila mopn raisonnenement
> s'il existe P non nul tq f(P)=kP soit n le degré de P (an non nul)
> alors (X+1)(X-3)P' - XP = kP
> donc en particulier
> n*an-an=0 or an non nul donc n=1
> donc P=AX+B
> donc j'obitens le système suivant
> -2A-B=kA
> -3A=kB
> d'ou
> (k+2)A=-B
> 3A=-kB
> donc [k(k+2)-3]B=0
> 3A=-kB
> si B=0 alors A=0 donc absurde car P non nul
> donc Bnon nul
> donc k(k+2)=3 d'ou k=-3 ou k=1
> et après je trouve des conditions sur P qui récirpoquement vérifie[/color]
l'égalité
> de départ
> ceci vous semble t il correct?

Tout à fait mon cher Karl Friedrich
Tu pourras également t'entraîner sur l'exercice 3.2.55 page 21 à la page
http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/spe/pdf/colles.pdf
Les valeurs propres sont un peu plus nombreuses (par les considérations sur
les degrés) et l'explicitation des vecteurs propres est en général une chose
mal aisée mais dans le cas présent, c'est possible.

********************
http://www.mathematiques.fr.st
100 exos de Taupe en +
*******************

[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de news:
426258cb$0$32081$626a14ce@news.free.fr...
> "Gauss" a écrit dans le message de news:
> 4262333e$0$11702$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>>
>> "Olivier" a écrit dans le message de news:
>> 42622cc2$0$25032$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=darkred]
>> >> soit f un endo de R[X] défini par
>> >> pour P dans R[X]
>> >> f(P)=(X+1)(X-3)P' - XP
>> >
>> > "
>> > Considerons lambda une valeur propre de f (si une
>> > telle valeur existe). Il existe alors un polynome
>> > P non nul tel que f(P)=lambda P. Alors ...
>> > "
>> >
>> > JQCA, Amities, Olivier
>> >
>> voila mopn raisonnenement
>> s'il existe P non nul tq f(P)=kP soit n le degré de P (an non nul)
>> alors (X+1)(X-3)P' - XP = kP
>> donc en particulier
>> n*an-an=0 or an non nul donc n=1
>> donc P=AX+B
>> donc j'obitens le système suivant
>> -2A-B=kA
>> -3A=kB
>> d'ou
>> (k+2)A=-B
>> 3A=-kB
>> donc [k(k+2)-3]B=0
>> 3A=-kB
>> si B=0 alors A=0 donc absurde car P non nul
>> donc Bnon nul
>> donc k(k+2)=3 d'ou k=-3 ou k=1
>> et après je trouve des conditions sur P qui récirpoquement vérifie[/color]
> l'égalité
>> de départ
>> ceci vous semble t il correct?
>
> Tout à fait mon cher Karl Friedrich
> Tu pourras également t'entraîner sur l'exercice 3.2.55 page 21 à la page
> http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/spe/pdf/colles.pdf
> Les valeurs propres sont un peu plus nombreuses (par les considérations
> sur
> les degrés) et l'explicitation des vecteurs propres est en général une
> chose
> mal aisée mais dans le cas présent, c'est possible.
>
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> http://www.mathematiques.fr.st
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>[/color]

merci beaucoup masterbech pour cette indic je vais sur le site de ce pas !!!
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