Racine n-ieme

[Anonyme]

J'ai une loi (u,v) -> u*v = u+v+uv sur l'ensemble ]-1,+oo[ qui en fait un
groupe abelien. Je voudrais montrer qu'un homomorphisme de (R,+) dans
(G,*) est entierement determine par sa valeur en 1. Je bloque un peu sur
le calcul de phi(1/n).

En effet, pour la loi *, u*u*...*u (n facteurs) =
n*somme(u^k,k=1..n-1)+u^n, mais je ne vois pas comment prouver que la
fonction a droite est surjective pour toute valeur de n.

Des conseils ?

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

nicolas.naime.pas.les.pouriels.francois@free.fr a écrit :
> J'ai une loi (u,v) -> u*v = u+v+uv sur l'ensemble ]-1,+oo[ qui en fait un
> groupe abelien. Je voudrais montrer qu'un homomorphisme de (R,+) dans
> (G,*) est entierement determine par sa valeur en 1. Je bloque un peu sur
> le calcul de phi(1/n).
>
> En effet, pour la loi *, u*u*...*u (n facteurs) =
> n*somme(u^k,k=1..n-1)+u^n, mais je ne vois pas comment prouver que la
> fonction a droite est surjective pour toute valeur de n.
>

Je pencherais plutôt pour somme(C(n,k)*u^k, k=1..n) = u*u*u...*u.
Les homomorphismes continus apparaissent alors assez clairement.

> Des conseils ?
>
> \bye
>

Chichou.

[Anonyme]

nicolas.naime.pas.les.pouriels.francois@free.fr wrote:
> J'ai une loi (u,v) -> u*v = u+v+uv sur l'ensemble ]-1,+oo[ qui en fait un
> groupe abelien. Je voudrais montrer qu'un homomorphisme de (R,+) dans
> (G,*) est entierement determine par sa valeur en 1. Je bloque un peu sur
> le calcul de phi(1/n).

Si je me souviens de mon cours de théorie des anneaux, le mieux est
d'écrire tout cela (1+w)=(1+u)(1+v) ce qui définit w=u*v

Un morphisme phi de (R,+) dans (G,*) verifie donc
phi(u+v)=phi(u)*phi(v), i.e. (1+phi(u+v))=(1+phi(u))(1+phi(v))
ce qui fait que (1+phi) (u+v)= (1+phi)(u) (1+phi(v))
i.e. g=1+phi est un morphisme de (R,+) dans (]0,infini[,x)
Et là déjà, on y reconnait plus ses moutons

Amitiés,
Olivier