Questions sur Z/nZ

[Anonyme]

Bonjour,

Comment recherche t-on les éléments non inversibles de Z/nZ (n non premier
bien sur). Je cherche ca parceque je dois résoudre (x-1)(x-3) dans Z/143Z
J'ai la condition nécessaire x-1 et x-3 non inversibles dans Z/143Z. J'ai de
plus 143=11*13. Comment trouver ces éléments?

J'ai une seconde question, lorsqu'on doit résoudre x^2=1 dans Z/pZ, pourquoi
suffit t-il de cherche les éléments parmi les entiers de 1 a p/2 ou (p-1)/2
?

[Anonyme]

Nono wrote:
> Bonjour,
>
> Comment recherche t-on les éléments non inversibles de Z/nZ (n non premier
> bien sur). Je cherche ca parceque je dois résoudre (x-1)(x-3) dans Z/143Z

(x-1)(x-3) n'est pas une équation, et tu ne peux donc pas le résoudre

> J'ai la condition nécessaire x-1 et x-3 non inversibles dans Z/143Z. J'ai de
> plus 143=11*13. Comment trouver ces éléments?

C'est le théorème de Bezout qui te donne la solution : si y est
premier à 143, il existe u et v tels que yu + 143v = 1, donc modulo
143, yu == 1 et y est inversible (== pour la congruence).

Si la classe de y n'est pas inversible dans Z/143Z, alors y n'est
pas premier à 143, ils ont donc un diviseur commun 1.

Donc 11 | y ou 13 | y (puisqu'on a là les seuls diviseurs premiers
de 143).

On obtient donc, comme non inversibles dans Z/143Z, les classes de
11, 2*11, 3*11, ... 12*11 et 13, 2*13, 3*13, ... 10*13, ainsi que 0.

> J'ai une seconde question, lorsqu'on doit résoudre x^2=1 dans Z/pZ, pourquoi
> suffit t-il de cherche les éléments parmi les entiers de 1 a p/2 ou (p-1)/2
> ?

Parce que x^2 == 1 (-x)^2 == 1 (p - x)^2 == 1.