Question Kangourou

[Anonyme]

Bonjour,

La question 22 du Kangourou 2003 pour étudiants (>=TS)
me pose problème.


IJKL est un rectangle tel que IJ=16, JK=12.
IKM est un triangle rectangle en K tel que KM=15.
Soit N le point d'intersection de (IM) et (KL).
L'aire du triangle IKN est...



Voici un petit dessin. Les dimensions ne sont
pas respectées et (IM) n'est pas tracée.

J K
__________
| /|\
| / | \
| / | \
| / | \
| / | \M
| / |
| / | N
| / |
|/________|
I L



Parvenez-vous à trouver le résultat élémentairement ?
(et rapidement, il va de soi)

Je n'y arrive pas élémentairement ¹...
Et pourtant, le problème semble si simple...


D'avance merci !

Iulius


¹ on peut aussi tracer grandeur nature la figure et
trouver NL à la règle graduée. Après, le résultat
est trouvable sans ambiguïté. Mais je pense qu'il
doit bien exister une méthode algébrique.

[Anonyme]

>
> IJKL est un rectangle tel que IJ=16, JK=12.
> IKM est un triangle rectangle en K tel que KM=15.
> Soit N le point d'intersection de (IM) et (KL).
> L'aire du triangle IKN est...
>

Pythagore devrait te donner aisément IK
Compare alors IJ/JK et IK/KM. Qu'en déduire sur les angles JIK et KIM ?
Qu'en déduire alors sur les angles KIN et IKN ?
Qu'en déduire sur la perpendiculaire abaissée de N sur IK (longueur ?)
et cela donne la suface de IKN

[Anonyme]

"Iulius" a écrit dans le message de
news: 38lg20F5qfb34U1@individual.net...
> Bonjour,
>
> La question 22 du Kangourou 2003 pour étudiants (>=TS)
> me pose problème.
>
>
> IJKL est un rectangle tel que IJ=16, JK=12.
> IKM est un triangle rectangle en K tel que KM=15.
> Soit N le point d'intersection de (IM) et (KL).
> L'aire du triangle IKN est...
>
>
>
> Voici un petit dessin. Les dimensions ne sont
> pas respectées et (IM) n'est pas tracée.
>
> J K
> __________
> | /|\
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> | / | \M
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> | / | N
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> I L
>
>
>
> Parvenez-vous à trouver le résultat élémentairement ?
> (et rapidement, il va de soi)
>
> Je n'y arrive pas élémentairement ¹...
> Et pourtant, le problème semble si simple...
>
>
> D'avance merci !

> Iulius
>
>
> ¹ on peut aussi tracer grandeur nature la figure et
> trouver NL à la règle graduée. Après, le résultat
> est trouvable sans ambiguïté. Mais je pense qu'il
> doit bien exister une méthode algébrique.

En calculant IK, on voit que le triangle IKM est semblable à IJK, d'où la
solution...

A.J.

[Anonyme]

En réponse à Patrick :

> Compare alors IJ/JK et IK/KM. Qu'en déduire sur les angles JIK et KIM ?

Ah oui, effectivement !
La clé de cette question résidait dans cette observation.


> Qu'en déduire sur la perpendiculaire abaissée de N sur IK (longueur ?)

Et oui, encore INH (H pied de la hauteur-médiane) qui est semblable
à IJK !


> et cela donne la suface de IKN

Oui : 75 unités d'aire.


Merci pour votre aide.

Julien

[Anonyme]

>[color=green]
>> et cela donne la suface de IKN
>
> Oui : 75 unités d'aire.
>[/color]
Effectivement

>
> Merci pour votre aide.
>

De rien

[Anonyme]

Dans l'article ,
Iulius a écrit:

> ....
> IJKL est un rectangle tel que IJ=16, JK=12.
> IKM est un triangle rectangle en K tel que KM=15.
> Soit N le point d'intersection de (IM) et (KL).
> L'aire du triangle IKN est...
>
>
>
> Voici un petit dessin. Les dimensions ne sont
> pas respectées et (IM) n'est pas tracée.
>
> J K
> __________
> | /|\
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> I L
>
>
>
> ....


IK = 20 (Euclide I.47).

Ainsi les triangles IJK, IKM sont semblables (Euclide VI.6)

et l'angle KIM = JIK

= IKN (Euclide I.29).

Soit NQ perpendiculaire sur IK.

Les triangles IQN, KQN sont congrus (Euclide I.26)

et semblables au trangle IJK.

Il suit que IQ = 10, QN = 7.5, et l'aire du triangle IKN est

(20 x 7.5)/2 = 75.


Ken Pledger.