Quelques questions

[Anonyme]

Bonjour à tous et à toutes,

Pour commencer, j'adresse un grand merci à tous ceux, ici, qui ont eu la gentillesse,
toute cette année, de répondre à mes questions et par conséquent qui m'ont aidé à m'en
sortir cette année encore en maths.

Mais, tout comme le Lieutenant Columbo, j'ai encore quelques petites questions à poser
avant de partir. Les voilà :

Est-ce que j'ai raison quand je dis... :

1. ...que tous les segments de droites peuvent être mesurés par un nombre (réel) mais
qu'en revanche tous les nombres réels ne peuvent pas être représentés par un segment de
droite (contrairement à ce que pourrait laisser croire le concept de "droite des réels") ?

2. ...que l'écart minimum entre deux éléments d'un ensemble discret est d' "1" unité
(quelconque), tandis que l'écart minimun entre deux éléments d'un ensemble continu peut
être plus petit que n'importe quelle valeur donnée ?

3. ...que la géométrie avec les vecteurs ne peut pas se passer de la géométrie classique ?
[puisque notamment :
a) la fondamentale notion (vectorielle) d'équipollence repose sur la notion (classique)
de parallélogramme
b) la norme d'un vecteur se calcule à partir du théorème de Pythagore]

4. ...que, en logique, la négation de la proposition "Il existe un élément " est "Il
n'existe pas d'élément (du tout)" et pas "Il n'existe pas un élément (mais peut-être bien
plusieurs)" ?
(A propos, quelle est la négation logique d'une proposition du genre " Tous les hommes
sont libres " ? Est-ce "Aucun homme n'est libre" ou bien "Tous les hommes ne sont pas
libres (mais certains le sont)" ? [Je demande ça car j'ai essayé, pour m'amuser, de
répondre au questionnaire d'un examen d'admission à une grande école et je me suis ramassé
complètement en logique])

Voilà. Encore une toute dernière question avant de laisser la place aux autres : Dans
l'histoire des mathématiques, on parle toujours des mathématiciens. N'y aurait-il pas des
mathématiciennes, pour changer un peu ?

Encore merci de votre aide !

Gibbs.

[Anonyme]

"Gibbs" a écrit dans le message de news:
40dd9578$0$28584$a0ced6e1@news.skynet.be...
> Bonjour à tous et à toutes,
>
> Pour commencer, j'adresse un grand merci à tous ceux, ici, qui ont eu la
gentillesse,
> toute cette année, de répondre à mes questions et par conséquent qui m'ont
aidé à m'en
> sortir cette année encore en maths.
>
> Mais, tout comme le Lieutenant Columbo, j'ai encore quelques petites
questions à poser
> avant de partir. Les voilà :
>

> 4. ...que, en logique, la négation de la proposition "Il existe un élément
" est "Il
> n'existe pas d'élément (du tout)" et pas "Il n'existe pas un élément (mais
peut-être bien
> plusieurs)" ?
> (A propos, quelle est la négation logique d'une proposition du genre "
Tous les hommes
> sont libres " ? Est-ce "Aucun homme n'est libre" ou bien "Tous les hommes
ne sont pas
> libres (mais certains le sont)" ? [Je demande ça car j'ai essayé, pour
m'amuser, de
> répondre au questionnaire d'un examen d'admission à une grande école et je
me suis ramassé
> complètement en logique])
>

Non("Tous les hommes sont libres") = Il existe au moins un homme qui n'est
pas libre
Non("Aucun homme n'est libre") = Il existe au moins un homme libre

[Anonyme]

Gibbs a écrit:
> Bonjour à tous et à toutes,
>
> Pour commencer, j'adresse un grand merci à tous ceux, ici, qui ont eu la gentillesse,
> toute cette année, de répondre à mes questions et par conséquent qui m'ont aidé à m'en
> sortir cette année encore en maths.
>
> Mais, tout comme le Lieutenant Columbo, j'ai encore quelques petites questions à poser
> avant de partir. Les voilà :
>
> Est-ce que j'ai raison quand je dis... :
>
> 1. ...que tous les segments de droites peuvent être mesurés par un nombre (réel) mais
> qu'en revanche tous les nombres réels ne peuvent pas être représentés par un segment de
> droite (contrairement à ce que pourrait laisser croire le concept de "droite des réels") ?

NON, certainement tu as tort

>
> 2. ...que l'écart minimum entre deux éléments d'un ensemble discret est d' "1" unité
> (quelconque), tandis que l'écart minimun entre deux éléments d'un ensemble continu peut
> être plus petit que n'importe quelle valeur donnée ?

OUI je te suis

> 3. ...que la géométrie avec les vecteurs ne peut pas se passer de la géométrie classique ?
> [puisque notamment :
> a) la fondamentale notion (vectorielle) d'équipollence repose sur la notion (classique)
> de parallélogramme
> b) la norme d'un vecteur se calcule à partir du théorème de Pythagore]

Pas forcément !

> 4. ...que, en logique, la négation de la proposition "Il existe un élément " est "Il
> n'existe pas d'élément (du tout)" et pas "Il n'existe pas un élément (mais peut-être bien
> plusieurs)" ?
FAUX !

> (A propos, quelle est la négation logique d'une proposition du genre " Tous les hommes
> sont libres " ?
C'est 'il existe au moins un homme qui n'est pas libre'

> Encore merci de votre aide !
De rien


> Gibbs.
>
>

[Anonyme]

Bonjour,

Je suppose que tu étais en terminale (?) cette année.

Gibbs :
> 1. ...que tous les segments de droites peuvent être mesurés par
> un nombre (réel) mais qu'en revanche tous les nombres réels ne
> peuvent pas être représentés par un segment de droite
> (contrairement à ce que pourrait laisser croire le concept de
> "droite des réels") ?

Je ne sais pas si tu penses aux éléments +oo et -oo, aux nombres
complexes mais ton idée me semble bizarre..
Je ne comprend pas très bien, peux-tu en dire plus ?
Quels nombres réels ne peuvent pas être représentables ?

Représentable ça veut dire "constructible à la règle et au
compas" ?

> 2. ...que l'écart minimum entre deux éléments d'un ensemble
> discret est d' "1" unité (quelconque),

La notion d'ensemble discret se définit par rapport à un ensemble
dense, représenté géométriquement par une droite ou un segment.

Alors si on représente les éléments de l'ensemble discret par des
points sur cette droite ou ce segment, on pourra en effet trouver 2
points qui délimiteront un segment ouvert où on ne pourra pas
trouver d'élément de l'ensemble discret.

Par contre on ne peut pas fixer d'unité de mesure du "trou", on
peut par exemple trouver un ensemble discret dans R où les "trous"
n'auront pas une "mesure entière".

> tandis que l'écart minimun entre deux éléments d'un ensemble
> continu peut être plus petit que n'importe quelle valeur donnée ?

Oui.
Je pense que tu connais la définition de densité dans R qui utilise
sa relation d'ordre.
A sous-ensemble de R est dense dans R si
qqs x,y dans A, il existe z tq x 3. ...que la géométrie avec les vecteurs ne peut pas se passer
> de la géométrie classique ?[/color]

Ces notions de vecteurs et de points d'un espace sont définies plus
clairement dans le supérieur.
En tout cas c'est bien de faire la distinction mentale entre ces
deux catégories d'êtres.

En résumé on définit d'abord les vecteurs *puis* les points, c'est
quand même fort..
Donc la réponse à ta question serait non.

Les vecteurs sont les éléments d'un espace vectoriel,
les points, éléments d'un espace affine dont la structure découle
de l'espace vectoriel précédent.

Personnellement, j'ai pas assez de recul pour faire le lien entre
ces nouvelles définitions plus rigoureuses et la géométrie du
lycée, mais il me semble qu'au lycée on fait de la géométrie plutôt
"avec les mains", c'est-à-dire directement en relation avec notre
imagination. Alors que dans le supérieur on enseigne des notions
plus dévelopées, pas forcément naturelles mais découlant de cet
aspect manuel.

> quelle est la négation logique d'une proposition du genre
> " Tous les hommes sont libres " ?

la négation d'une proposition du style "qqs x tq p(x)", c'est
"il existe x tq non(p(x))"

où x représente un homme et p(x):" l'homme est libre "
donc dans ce cas c'est "il existe un homme non libre".

Tu peux regarder dans un cours de logique basique (généralement 1e
chapitre du cours de maths de DEUG ou de sup), là aussi sans
prérequis.

> Dans l'histoire des mathématiques, on parle toujours des
> mathématiciens. N'y aurait-il pas des mathématiciennes, pour
> changer un peu ?

Bien-sûr, la plus connue doit être Sophie Germain,

sinon j'ai trouvé cette page avec Google :
http://minilien.com/?2OMF2NqbVj

--
Michel [overdose@alussinan.org]
.... il y a aussi ma prof de 1è mais bon

[Anonyme]

Gibbs a écrit :
> 2. ...que l'écart minimum entre deux éléments d'un ensemble discret est d' "1" unité
> (quelconque), tandis que l'écart minimun entre deux éléments d'un ensemble continu peut
> être plus petit que n'importe quelle valeur donnée ?

Si je prends l'ensemble des {1/n | n \in N}, il est discret, et pourtant
tu peux toujours trouver deux points qui seront à une distance de moins
de epsilon (avec epsilon arbitraire). Ce qui est vrai par contre c'est
qu'à partir d'un point donné, il existe une constante \delta telle que
tous les autres points soient à une distance de plus de \delta du point
considéré.

--
Nico.

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 40DDD033.B62C472@yahoo.fr...
> Gibbs a écrit :[color=green]
> > 2. ...que l'écart minimum entre deux éléments d'un ensemble discret est[/color]
d' "1" unité[color=green]
> > (quelconque), tandis que l'écart minimun entre deux éléments d'un[/color]
ensemble continu peut[color=green]
> > être plus petit que n'importe quelle valeur donnée ?
>
> Si je prends l'ensemble des {1/n | n \in N}, il est discret, et pourtant
> tu peux toujours trouver deux points qui seront à une distance de moins
> de epsilon (avec epsilon arbitraire). Ce qui est vrai par contre c'est
> qu'à partir d'un point donné, il existe une constante \delta telle que
> tous les autres points soient à une distance de plus de \delta du point
> considéré.[/color]

Et si on rajoute l'hypothèse d'un ensemble discret fini alors on peut écrire
Il existe delta>0 tq qques soient (n,m) dans E², on a distance(x,y)>=delta
(1)

Ce qui est notablement différent de
Qques soit n dans E²il existe delta>0 tq qques soit m dans E, on a
distance(x,y)>=delta (2)
Ici c'est un delta(n,m), il peut éventuellement devenir arbitrairement petit
E représente notre ensemble.

Question : pour le cas d'un ensemble discret infini, on a (2)
Quelles conditions ajouter sur E pour que (1) soit vrai ?
Existe-t-il une condition "élégante" ? Par exemple en faisant intervenir un
critère de densité ?
N vérifie (1) sans être fini

> --
> Nico.

Pierre

[Anonyme]

Rincevent a écrit :
> Et si on rajoute l'hypothèse d'un ensemble discret fini alors on peut
> écrire. Il existe delta>0 tq qques soient (n,m) dans E², on a
> distance(x,y)>=delta (1)

Tout espace métrique fini est discret, note.

> Ce qui est notablement différent de
> Qques soit n dans E²il existe delta>0 tq qques soit m dans E, on a
> distance(x,y)>=delta (2)

> Question : pour le cas d'un ensemble discret infini, on a (2)
> Quelles conditions ajouter sur E pour que (1) soit vrai ?

un truc comme pas de point d'accumulation, je suppose.

--
Nico.

[Anonyme]

Bonjour,


Pour les femmes mathématiciennes on peut citer aussi:`

Hypathie;mathématicienne d'Alexandrie (IV siécle après JC) qui connut une fin
tragique.

Sophia Kovalevki; russe du 19 eme siécle qui a laissé de curieux mémoires que
vous trouverez chez Belin dans la collection "Un savant,une époque".

Emmy Noether :algébriste allemande du 19eme.

Si vous vous intéressez aux biographies de mathématiciens et mathématiciennes
célébres je ne saurais trop vous conseiller le livre:
"Les mathématiciens de A à Z " de Hauchecorne et Surreau chez Ellipses.

Amitiés



--
Utilisez notre serveur de news 'news.foorum.com' depuis n'importe ou.
Plus d'info sur : http://nnrpinfo.go.foorum.fr/

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message news:
XnF9514D7A37CEC5michel@212.129.5.2...
> Bonjour,
> Je suppose que tu étais en terminale (?) cette année.

Non, je vais entrer en terminale l'année prochaine.


>Représentable ça veut dire "constructible à la règle et au
> compas" ?

Oui, c'est ça que je voulais dire.
Ma question vient de ce que je viens de lire quelque part que : ne sont constructibles que
les nombres "algébriques d'un degré égal à une puissance (entière, sans doute) de 2."

Je ne prétends pas avoir compris tout l'article, mais l'auteur y écrit, par exemple, qu'un
réel comme "racine cubique de 2" n'est pas constructible à la règle et au compas (d'où le
problème impossible de la "duplication du cube").

C'est ce qui m'a fait conclure que certains réels ne pouvaient être "représentés" par un
segment de droite...

Je suppose que ça signifie que quelque chose m'échappe encore.

Bien sûr, l'esprit peut construire un segment de la longueur qui lui plaît, mais qu'en
est-il "dans la réalité" ?



>[color=green]
> > 2. ...que l'écart minimum entre deux éléments d'un ensemble
> > discret est d' "1" unité (quelconque),
>
> La notion d'ensemble discret se définit par rapport à un ensemble
> dense, représenté géométriquement par une droite ou un segment.
>
> Alors si on représente les éléments de l'ensemble discret par des
> points sur cette droite ou ce segment, on pourra en effet trouver 2
> points qui délimiteront un segment ouvert où on ne pourra pas
> trouver d'élément de l'ensemble discret.
>
> Par contre on ne peut pas fixer d'unité de mesure du "trou", on
> peut par exemple trouver un ensemble discret dans R où les "trous"
> n'auront pas une "mesure entière".
>[/color]
Là, il va falloir que je révise ma vision des choses.
[color=green]
> > tandis que l'écart minimun entre deux éléments d'un ensemble
> > continu peut être plus petit que n'importe quelle valeur donnée ?
>
> Oui.
> Je pense que tu connais la définition de densité dans R qui utilise
> sa relation d'ordre.[/color]

euh... en fait pas vraiment.

> A sous-ensemble de R est dense dans R si
> qqs x,y dans A, il existe z tq x
> Plus généralement on définit la notion de densité dans un ensemble
> quelconque, n'ayant pas nécessairement de relation d'ordre (par
> exemple le plan) par des notions d'ensembles ouverts/fermés et
> d'intérieur.
> Tu trouveras ces définition au début d'un cours de topologie, il
> n'y a aucun prérequis
>[color=green]
> > 3. ...que la géométrie avec les vecteurs ne peut pas se passer
> > de la géométrie classique ?
>
> Ces notions de vecteurs et de points d'un espace sont définies plus
> clairement dans le supérieur.
> En tout cas c'est bien de faire la distinction mentale entre ces
> deux catégories d'êtres.
>
> En résumé on définit d'abord les vecteurs *puis* les points, c'est
> quand même fort.. [/color]

Oui, plutôt ! J'aurais parié pour le contraire.

> Donc la réponse à ta question serait non.
>
> Les vecteurs sont les éléments d'un espace vectoriel,
> les points, éléments d'un espace affine dont la structure découle
> de l'espace vectoriel précédent.
>
> Personnellement, j'ai pas assez de recul pour faire le lien entre
> ces nouvelles définitions plus rigoureuses et la géométrie du
> lycée, mais il me semble qu'au lycée on fait de la géométrie plutôt
> "avec les mains", c'est-à-dire directement en relation avec notre
> imagination. Alors que dans le supérieur on enseigne des notions
> plus dévelopées, pas forcément naturelles mais découlant de cet
> aspect manuel.
>[color=green]
> > quelle est la négation logique d'une proposition du genre
> > " Tous les hommes sont libres " ?
>
> la négation d'une proposition du style "qqs x tq p(x)", c'est
> "il existe x tq non(p(x))"
>
> où x représente un homme et p(x):" l'homme est libre "
> donc dans ce cas c'est "il existe un homme non libre".
>
> Tu peux regarder dans un cours de logique basique (généralement 1e
> chapitre du cours de maths de DEUG ou de sup), là aussi sans
> prérequis.[/color]

Merci pour le renseignement. Ca me permettra de m'entraîner.
>[color=green]
> > Dans l'histoire des mathématiques, on parle toujours des
> > mathématiciens. N'y aurait-il pas des mathématiciennes, pour
> > changer un peu ?
>
> Bien-sûr, la plus connue doit être Sophie Germain,[/color]

ah, bien ! Je vais me renseigner sur cette personne.
>
> sinon j'ai trouvé cette page avec Google :
> http://minilien.com/?2OMF2NqbVj
>
> --
> Michel [overdose@alussinan.org]
> ... il y a aussi ma prof de 1è mais bon

....Comme tu dis : "mais bon"...

En résumé, je crois que j'aborde pas mal de concepts mathématiques par un bout qui n'est
pas le bon. Pour me consoler, j'ose espérer que ça vient notammant de l'ordre dans lequel
ils sont enseignés (j'imagine mal qu'on enseigne les espaces vectoriels avant l'espace
affine, par exemple). Mais je m'inquiète parfois de ne pas avoir l'esprit assez
mathématique pour pouvoir continuer plus tard dans cette voie-là.

Un grand merci pour tes remarques.

Gibbs.

[Anonyme]

"Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
40DDC587.7050308@univ-lemans.fr...
[color=green]
> >
> > Est-ce que j'ai raison quand je dis... :
> >
> > 1. ...que tous les segments de droites peuvent être mesurés par un nombre (réel) mais
> > qu'en revanche tous les nombres réels ne peuvent pas être représentés par un segment[/color]
de[color=green]
> > droite (contrairement à ce que pourrait laisser croire le concept de "droite des[/color]
réels") ?
>
> NON, certainement tu as tort

J'ai expliqué les causes de mon affirmation dans mon message à Michel. Si tu en as le
temps, n'hésite pas, toi aussi à les critiquer.


>[color=green]
> > 3. ...que la géométrie avec les vecteurs ne peut pas se passer de la géométrie[/color]
classique ?[color=green]
> > [puisque notamment :
> > a) la fondamentale notion (vectorielle) d'équipollence repose sur la notion[/color]
(classique)[color=green]
> > de parallélogramme
> > b) la norme d'un vecteur se calcule à partir du théorème de Pythagore]
>
> Pas forcément ![/color]

Peut-être pourrais-tu développer un peu, si tu as le temps, bien entendu.
Merci.


[color=green]
> > 4. ...que, en logique, la négation de la proposition "Il existe un élément " est "Il
> > n'existe pas d'élément (du tout)" et pas "Il n'existe pas un élément (mais peut-être[/color]
bien[color=green]
> > plusieurs)" ?
> FAUX ![/color]

Est-ce que ça signifie que je dois différencier :
1) "il existe (au moins) un élément" dont la négation serait (?) "Il n'existe pas
d'élément"
de
2)"il existe un (seul) élément" dont la négation serait (?) "il existe plus d'un élément"

? Je m'interroge.

>[color=green]
> > (A propos, quelle est la négation logique d'une proposition du genre " Tous les hommes
> > sont libres " ?
> C'est 'il existe au moins un homme qui n'est pas libre'[/color]

Je crois qu'une de mes erreurs, dans ce genre de questions, est de confondre "négation"
avec "contraire", ce qui semble ne pas être la même chose.
[color=green]
> > Encore merci de votre aide !
> De rien[/color]

Encore merci quand même.[color=green]
> > Gibbs.
> >
> >
>[/color]

[Anonyme]

"Rincevent" a écrit dans le message news:
cbk6q2$38e$1@news-reader3.wanadoo.fr...
>

>[color=green]
> > 4. ...que, en logique, la négation de la proposition "Il existe un élément
> " est "Il
> > n'existe pas d'élément (du tout)" et pas "Il n'existe pas un élément (mais
> peut-être bien
> > plusieurs)" ?
> > (A propos, quelle est la négation logique d'une proposition du genre "
> Tous les hommes
> > sont libres " ? Est-ce "Aucun homme n'est libre" ou bien "Tous les hommes
> ne sont pas
> > libres (mais certains le sont)" ? [Je demande ça car j'ai essayé, pour
> m'amuser, de
> > répondre au questionnaire d'un examen d'admission à une grande école et je
> me suis ramassé
> > complètement en logique])
> >
>
> Non("Tous les hommes sont libres") = Il existe au moins un homme qui n'est
> pas libre
> Non("Aucun homme n'est libre") = Il existe au moins un homme libre
>[/color]
Bonjour,

Merci pour tes remarques.

Comme je l'ai écrit ailleurs, dans ce genre de problèmes, je crois que je confonds (entre
autres) "négation" avec "contraire" (par exemple, quand je vois "tous" j'ai envie de
répondre "aucun" ...)

Gibbs.

[Anonyme]

Gibbs a écrit:
> "Paul Delannoy" a écrit dans le message news:
> 40DDC587.7050308@univ-lemans.fr...
>
>[color=green][color=darkred]
>>>Est-ce que j'ai raison quand je dis... :
>>>
>>>1. ...que tous les segments de droites peuvent être mesurés par un nombre (réel) mais
>>>qu'en revanche tous les nombres réels ne peuvent pas être représentés par un segment
>>[/color]
> de
>[color=darkred]
>>>droite (contrairement à ce que pourrait laisser croire le concept de "droite des
>>[/color]
> réels") ?
>
>>NON, certainement tu as tort
>
>
> J'ai expliqué les causes de mon affirmation dans mon message à Michel. Si tu en as le
> temps, n'hésite pas, toi aussi à les critiquer.[/color]

Je n'étais pas allé jusqu'à expliciter comme toi le sens profond de la
question ; je suis d'acord avec ce qui a été écrit sur le 'constructible
à la ègle et au compas' ; il est exact qu'il faut expliciter ce que
désigne le mot 'représentation'.
[color=green][color=darkred]
>>>3. ...que la géométrie avec les vecteurs ne peut pas se passer de la géométrie
>>[/color]
> classique ?
>[color=darkred]
>>>[puisque notamment :
>>>a) la fondamentale notion (vectorielle) d'équipollence repose sur la notion
>>[/color]
> (classique)
>[color=darkred]
>>>de parallélogramme
>>>b) la norme d'un vecteur se calcule à partir du théorème de Pythagore]
>>
>>Pas forcément ![/color]
>
>
> Peut-être pourrais-tu développer un peu, si tu as le temps, bien entendu.
> Merci.[/color]

La aussi, un post a bien cadré les choses : vecteurs comme éléments d'un EV,
et points définis comme extrémités de vecteurs. C'est déroutant, bien sûr.
Mais ça permet tant de choses en dehors du modèle d'espace euclidien...

[Anonyme]

Gibbs :

> Comme je l'ai écrit ailleurs, dans ce genre de problèmes, je
> crois que je confonds (entre autres) "négation" avec "contraire"

C'est bien la même chose.
Le premier s'utilise en maths, l'autre dans la vie courante.

> (par exemple, quand je vois "tous" j'ai envie de répondre
> "aucun" ...)

En fait le piège c'est de remplacer rigoureusement chaque mot d'une
phrase française par son contraire, on ne va pas forcément avoir la
négation qu'on veut, il faut bien comprendre le sens général de la
phrase avant.

Alors que si on pose les choses en termes de logique mathématique
(quantificateurs, propositions et connecteurs), c'est systématique et
là pas d'erreur possible.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Gibbs :
[color=green][color=darkred]
>>> 4. ...que, en logique, la négation de la proposition "Il
>>> existe un élément " est "Il n'existe pas d'élément (du tout)"
>>> et pas "Il n'existe pas un élément (mais peut-être bien
>>> plusieurs)" ?
>> FAUX ![/color][/color]

Non c'était bien ça.
Dans les énoncés mathématiques, l'usage veut que
"Il existe un ..." = "Il existe au moins un ..."
alors que quand il y a unicité on précise
"Il existe un unique ..." ou "Il existe un et un seul ..."

> Est-ce que ça signifie que je dois différencier :

Les deux énoncés ne sont pas les mêmes, on voit bien que le
deuxième apporte une propriété en plus (l'unicité).

exemple:
" La relation vectorielle aGA+bGB=0, a+b!=0 définit un et un seul
point G ".
alors que si on n'avait pas l'unicité le résultat serait moins
intéressant.

> 1) "il existe (au moins) un élément" dont la négation serait (?)
> "Il n'existe pas d'élément"

Oui.
Soit n (entier naturel) le nombre d'éléments n>=1
La négation est n 2)"il existe un (seul) élément" dont la négation serait (?) "il
> existe plus d'un élément"[/color]

n appartient à N\{1}.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Gibbs :
[color=green]
>>Représentable ça veut dire "constructible à la règle et au
>> compas" ?
>
> Ma question vient de ce que je viens de lire quelque part que :
> [...]
> C'est ce qui m'a fait conclure que certains réels ne pouvaient
> être "représentés" par un segment de droite...[/color]

Oui c'est exact.
Ce n'est pas tellement remarquable, c'est surtout à cause de la
restriction " à la règle et au compas ".
Par exemple par intuition, je n'imagine pas qu'on puisse donner un
protocole pour construire précisément des nombres aussi compliqués
que Pi ou e sur un axe avec une origine.

> Je suppose que ça signifie que quelque chose m'échappe encore.

C'est pas aussi facile que ça en a l'air en fait, certains des
problèmes de construction à la règle et au compas (eg. trisection
de l'angle) nous viennent des Grecs et leur impossibilité n'a été
démontrée que bien plus tard (à l'époque de Galois je crois).

Je n'en sais pas plus, je sais juste que ça repose sur des
résultats d'algèbre (!) plus difficiles sur les groupes.

> Bien sûr, l'esprit peut construire un segment de la longueur qui
> lui plaît, mais qu'en est-il "dans la réalité" ?

Oui, dans la réalité on ne peut pas tout faire malheureusement...

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On Tue, 29 Jun 2004 07:58:57 +0000 (UTC), Michel wrote:
>Oui c'est exact.
>Ce n'est pas tellement remarquable, c'est surtout à cause de la
>restriction " à la règle et au compas ".
>Par exemple par intuition, je n'imagine pas qu'on puisse donner un
>protocole pour construire précisément des nombres aussi compliqués
>que Pi ou e sur un axe avec une origine.

Ben il y a quand même pas mal de personnes qui ont planché sur la
quadrature du cercle (avant que ne soit prouvée son impossibilité,
qui provient du croisement de la theorie des extensions de corps
et de la transcendance de pi)...
[color=green]
>> Je suppose que ça signifie que quelque chose m'échappe encore.
>
>C'est pas aussi facile que ça en a l'air en fait, certains des
>problèmes de construction à la règle et au compas (eg. trisection
>de l'angle) nous viennent des Grecs et leur impossibilité n'a été
>démontrée que bien plus tard (à l'époque de Galois je crois).
>
>Je n'en sais pas plus, je sais juste que ça repose sur des
>résultats d'algèbre (!) plus difficiles sur les groupes.[/color]

Sur des résultats de theorie des corps, plus précisément : on commence
par dire que l'on peut construire tous les rationnels (on sait
construire les entiers, puis on sait diviser par des constructions de
type « Thalès ») ; puis on regarde les nombres que l'on peut construire
à l'aide de constructions règles/compas. En gros, il se trouve que cela
définit des points solutions d'équations de degré 2 ; en réitérant,
on obtient des nombres solutions d'équations de degré 4, mais toujours
avec quelques restrictions. En prenant l'union de tout ça, on obtient
les nombres constructibles à la règle et au compas, qu'il ne reste
« plus » qu'à étudier en tant que corps.

Le drame vient de ce qu'on sait extraire des racines carrées à la règle
et au compas, des racines quatrièmes, 2^n-ièmes, mais pas les racines
cubiques.
[color=green]
>> Bien sûr, l'esprit peut construire un segment de la longueur qui
>> lui plaît, mais qu'en est-il "dans la réalité" ?
>
>Oui, dans la réalité on ne peut pas tout faire malheureusement...[/color]

Dans la réalité on s'en fiche un peu : on approxime pi avec suffisament
de décimales pour que notre trait de crayon soit proportionnellement
très épais, puis on construit le décimal correspondant.

--
Frédéric

[Anonyme]

Bonjour,

et merci pour ces renseignements supplémentaires. C'est sympa.

(Une remarque : c'est curieux, on dirait que ne s'affiche pas à mon écran une réponse de
"Michel" du 29/06, malgré toutes mes "synchronisations du compte")

Gibbs.

[Anonyme]

Gibbs :

> (Une remarque : c'est curieux, on dirait que ne s'affiche pas à
> mon écran une réponse de "Michel" du 29/06, malgré toutes mes
> "synchronisations du compte")

Pour ce genre de problèmes, Google archive tout.
http://minilien.com/?GxKLc1wmta

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Bonsoir,

un grand merci à tous et notamment à ceux que je ne peux remercier personnellement car
leur message ne s'affiche pas sur mon écran. (Pourquoi ? Mystère - mais Michel y a remédié
par l'intermédiaire de Google) )

Gibbs.