Quelques exercices du FA

[Anonyme]

1) Fractions rationnelles

P. 332 du Fraysse-Arnaudies d'algebre, on propose la decomposition en
elements simples (DES) de la fraction rationnelle :

1
------------------
(X-1)(X-2)...(X-n)

Bon, la, pas de probleme.

Mais apres, est demande la DES de

1
------------------------
(X-1)^2(X-2)^2...(X-n)^2

Peut-on la deduire directement du premier resultat ? J'ai essaye en
elevant au carre la DES obtenue, ou bien en retirant de la deuxieme
fraction les termes de la forme

1
-------
(X-i)^2

qui sont assez faciles a trouver. Les calculs sont du meme genre, avec des
sommes idiotes (ou qui me semblent idiotes parce que je ne vois pas le
truc).

On pourrait utiliser la formule de Taylor, mais c'est un exercice qui
arrive plus tard, donc si possible, j'aimerais eviter. Surtout que ca ne
semble pas forcement plus evident.

Des idees ?

Plus generalement, peut-on deduire simplement la DES de

1
---
P^2

en fonction de celle de 1/P sans trop se casser la tete (ca arrive dans
pas mal d'exercices du meme genre).

Merci pour vos conseils.

2) Polynomes symetriques

On veut trouver l'expression d'un polynome symetrique a n variables en
fonction des fonctions symetriques des racines. Le F-A (toujours lui)
donne une methode, que je ne connaissais pas (ma prepa ne date pas d'il y
a assez longtemps, ca n'etait deja plus au programme), qui semble
algorithmisable. Sans rentrer dans les details de cette methode, que vous
connaissez sans-doute (ca cause de fonctions monomiales, et de produits
par des fonctions symétriques elementaires), pourriez-vous m'indiquer
comment VOUS procedez ? Un ami m'a parle d'une methode annulant la
derniere variable, mais je n'ai pas de details. Quelle est la methode la
plus efficace humainement ? Informatiquement ?

A ce propos, j'ai experimente la commande polylib::representByElemSym de
MuPAD qui est vraiment geniale. Par contre, la definition d'un polynome
symetrique quelconque demande un peu de programmation.

3) Polynomes a plusieurs variables et topologie

P.413 du meme Fraysse-Arnaudies, l'ex. 2 propose de demontrer que si
f:K^n->K est telle que pour tout a dans K^n, il existe Va voisinage de a
sur lequel f est polynomiale. Il s'agit de montrer que cette fonction est
polynomiale, en utilisant les theoremes du cours (i.e. principalement le
theoreme de prolongement analytique et c'est tout).

Je propose de dire que si a et b sont deux points de K^n, on peut les
entourer par une boule fermee B (par exemple de centre le milieu de [ab])
qui soit voisinage de ces points. Cette boule ouverte est compacte (la
topologie est donc importante, c'est bien l'une des topologies associees a
une norme quelconque de K^n). Les (Va inter B) en constituant un
recouvrement ouvert au sens de la topologie induite, on peut en extraire
un recouvrement fini, qu'on supposera minimal, meme si je ne vois pas pour
l'instant l'interet de cettehypothese.

Il s'agit alors d'appliquer le theoreme du prolongement analytique sur
chacune des intersections (en nombre fini) de ces voisinages pour en
conclure que la fonction polynomiale est la meme partout, et donc que fa
(def. au vois de a) est egale a fb, et ce pour tout couple (a,b). Et toc.

Cet argument vous semble-t-il admissible ? En voyez-vous de plus simple ?

4) Polynomes et fonctions symetriques

P. 427, on propose d'indiquer ce que deviennent les fonctions symetriques
lorsqu'on annule l'une des variables. Bien sur, ce sont les fonctions
symetriques de meme ordre associees a une variable de moins.

On demande alors d'en deduire que si les Yi sont les p premiers Xi et les
Zj sont les q suivants (p+q=n), et si les (si) (resp. les (ti)) sont les
fonctions symetriques des (Yi) (resp. les (Zj)), alors

sigma(k) = sum( si.tj, i+j=n)

C'est facile avec q=1 (c'est juste la suite de la premiere question). Pour
le demontrer, je propose de raisonner par recurrence sur q (par exemple),
en decoupant les ti en un paquet de (q-1), et un petit tout seul. Ce
raisonnement est-il valide ?

Si vous ne comprenez rien a ce que je viens de dire, n'hesitez pas a me le
faire savoir, c'est sans doute que ca n'est pas encore clair pour moi.
J'essayerai de m'exprimer plus rigoureusement.

Ma question est juste : peut-on recurrer sur q dans des problemes de ce
genre ?

\bye

PS pour les ronchons : ces messages n'ont pas recu de reponse sur f.s.m,
le cross-posting est pas bien et tout ca. Je suis d'accord, mais les buts
vises en postant dans ces DEUX groupes sont differents. Et puis il faut
arreter le delire : actuellement, ce qui pourrit le reseau, c'est pas les
cons dans mon genre qui cross-postent une question sur deux
niouze-groupes, c'est le _SPAM_ (un a deux Mo chaque jour qu'Einstein
fait, merci Swen, Outlook et M$).

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr
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