Qqn pourrait il m'expliquer cette exo type.

[Anonyme]

bonjour, voila, j'ai un exo type, (un de ce gnere la que j'aurais) mais
je ne pige pas la methode.

Dans l'espace R3 muni d'une base canonique, considerons la symetrie
bilaterale par rapport au plan d'equation x+y+z = 0

determiner la matrice repesantant cette symetrie.


matrice repesentant la base canonique, elle est simple, c'est
1 0 0
0 1 0
0 0 1

comment que je passe de ca a la matrice qui qui represente la symetrie
quelle est la methode, (si possible on pourrait m'expliquer etape par
étape.)

merci

a++

[Anonyme]

elekis a écrit:
> bonjour, voila, j'ai un exo type, (un de ce gnere la que j'aurais) mais
> je ne pige pas la methode.
>
> Dans l'espace R3 muni d'une base canonique, considerons la symetrie
> bilaterale par rapport au plan d'equation x+y+z = 0
>
> determiner la matrice repesantant cette symetrie.
>
>
> matrice repesentant la base canonique, elle est simple, c'est
> 1 0 0
> 0 1 0
> 0 0 1
>
> comment que je passe de ca a la matrice qui qui represente la symetrie
> quelle est la methode, (si possible on pourrait m'expliquer etape par
> étape.)

chaque vecteur colonne de ta matrice va être transformé en un autre par
la symétrie. Les coordonnées de ce transformé dans la base canonique
constituent la matrice de passage...

[Anonyme]

Bonjour,

D'abord ta matrice :
1 0 1
0 1 0
0 0 1
représente l'application Identité.
Elle envoie chaque vecteur sur lui-même ...

Ensuite, que fais ta symétrie ?
Elle prend un vecteur et l'envoie sur son symétrique par rapport au plan
x+y+z = 0. Tu n'as qu'à trouver 3 vecteurs qui forment une base, leur
images par cette symétrie et c'est bon. (ou presque)

----------------
Mathieu Moulin - lemathou at free.fr
Linux ? Ma liberté ...

[Anonyme]

elekis wrote:

>bonjour, voila, j'ai un exo type, (un de ce gnere la que j'aurais) mais
>je ne pige pas la methode.
>
>Dans l'espace R3 muni d'une base canonique, considerons la symetrie
>bilaterale par rapport au plan d'equation x+y+z = 0
>
>determiner la matrice repesantant cette symetrie.
>
>
>matrice repesentant la base canonique, elle est simple, c'est
>1 0 0
>0 1 0
>0 0 1
>
>comment que je passe de ca a la matrice qui qui represente la symetrie
>quelle est la methode, (si possible on pourrait m'expliquer etape par
>étape.)
>
>merci
>
>a++

Par symétrie bilatérale je vais supposer que vous parlez d'une
réflection à travers le plan. Voici une méthode qui passe par les
vecteurs.
Regardez le dessin ici:
http://www.geocities.com/scroussette/symeplan.gif

V est le vecteur initial
V' est le vecteur symétrique par rapport au plan
N est le vecteur unitaire normal au plan

On commence par inverser V: -V
Ensuite on fait la projection orthogonale de -V sur N par le produit
scalaire: Q=(-V.N)N
Par une somme de vecteurs on voit que -V = Q + C donc C=-V - Q
Et donc
V' = -V - 2C (somme de vecteurs)
= -V - 2(-V - (-V.N)N))
= V - 2(V.N)N
Ca c'est la formule vectorielle de symétrie par rapport au plan.

Sous forme de matrice ca s'écrit:
M=Identité - 2P où P est la matrice de projection orthogonale sur
N=(x,y,z) vecteur unitaire normal au plan, P=
[ x^2 xy xz ]
[ xy y^2 yz ]
[ xz yz z^2 ]
P représente simplement la formule (V.N)N sous forme de matrice,
faites le calcul PV pour un vecteur V quelconque disons V=(a,b,c),
puis comparez avec (V.N)N vous allez voir que ca donne la même chose.

Donc pour le plan x+y+z=0, N=(1,1,1)/sqrt(3), faites le calcul...

[Anonyme]

On Tue, 11 May 2004 11:53:43 +0200, elekis wrote:

>bonjour, voila, j'ai un exo type, (un de ce gnere la que j'aurais) mais
>je ne pige pas la methode.
>
>Dans l'espace R3 muni d'une base canonique, considerons la symetrie
>bilaterale par rapport au plan d'equation x+y+z = 0
je suppose qu'il s'agit d'une symétrie orthogonale par rapport à ce
plan
>determiner la matrice repesantant cette symetrie.
>
>
>matrice repesentant la base canonique, elle est simple, c'est
>1 0 0
>0 1 0
>0 0 1
>
>comment que je passe de ca a la matrice qui qui represente la symetrie
>quelle est la methode, (si possible on pourrait m'expliquer etape par
>étape.)
on peut le faire en collant aux définitions
Si O est l'orthogonal de P
R^3 est somme directe de P et O
une base de P est u(1,-1,0) et v(0,1,-1) et une base de O est w(1,1,1)
si le vecteur X=au+bv+cw alors son symétrique
est s(X)=au+bv-cw
donc il "suffit" de calculer s(e1) s(e2) et s(e3)
avec e1 (1,0,0) ......
par ex
e1=(-1/3)u+1/3v-(1/3)w
(en fait c'est pratiquement le seul calcul à faire ; résoudre un
systéme3*3 mais avec des 0)
donc s(e1)=(-1/3)u+1/3v+(1/3)w=(1/3,-2/3,-2/3)ce qui va donner la 1ère
colonne de la matrice
de même
s(e2)=(-2/3,1/3,-2/3)
s(e3)=(-2/3,-2/3,1/3)

d'où M est
1/3 -2/3 -2/3
-2/3 1/3 -2/3
-2/3 -2/3 1/3

on peut vérifier que M^2=I
et que les valeurs propres sont bien 1,1,-1
correpondant à u,v,w
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

Marc Pichereau wrote:
> On Tue, 11 May 2004 11:53:43 +0200, elekis wrote:
>
>[color=green]
>>bonjour, voila, j'ai un exo type, (un de ce gnere la que j'aurais) mais
>>je ne pige pas la methode.
>>
>>Dans l'espace R3 muni d'une base canonique, considerons la symetrie
>>bilaterale par rapport au plan d'equation x+y+z = 0
>
> je suppose qu'il s'agit d'une symétrie orthogonale par rapport à ce
> plan
>
>>determiner la matrice repesantant cette symetrie.
>>
>>
>>matrice repesentant la base canonique, elle est simple, c'est
>>1 0 0
>>0 1 0
>>0 0 1
>>
>>comment que je passe de ca a la matrice qui qui represente la symetrie
>>quelle est la methode, (si possible on pourrait m'expliquer etape par
>>étape.)
>
> on peut le faire en collant aux définitions
> Si O est l'orthogonal de P
> R^3 est somme directe de P et O
> une base de P est u(1,-1,0) et v(0,1,-1) et une base de O est w(1,1,1)
> si le vecteur X=au+bv+cw alors son symétrique
> est s(X)=au+bv-cw
> donc il "suffit" de calculer s(e1) s(e2) et s(e3)
> avec e1 (1,0,0) ......
> par ex
> e1=(-1/3)u+1/3v-(1/3)w
> (en fait c'est pratiquement le seul calcul à faire ; résoudre un
> systéme3*3 mais avec des 0)
> donc s(e1)=(-1/3)u+1/3v+(1/3)w=(1/3,-2/3,-2/3)ce qui va donner la 1ère
> colonne de la matrice
> de même
> s(e2)=(-2/3,1/3,-2/3)
> s(e3)=(-2/3,-2/3,1/3)
>
> d'où M est
> 1/3 -2/3 -2/3
> -2/3 1/3 -2/3
> -2/3 -2/3 1/3
>
> on peut vérifier que M^2=I
> et que les valeurs propres sont bien 1,1,-1
> correpondant à u,v,w
> *****************
>
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