[MP] Pseudo derivee seconde & Convexite

[Anonyme]

Bonjour,

Je vous demande de l'aide sur la question 2 de l'exercice suivant :

Soit f:R->R continue.
On suppose qqs x réel u(f)(x) = lim(h->0) [f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h^2
existe.

1_ Si f est C^2 calculer u(f)(x) :

2_ Si f est quelconque et a = 0
3_ Soient a = 0.
4_ En déduire que f est convexe.

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1_ Avec la formule de Taylor-Young,
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + (h^2/2)f"(x) + o(h^2)
f(x-h) = f(x) - hf'(x) + (h^2/2)f"(x) + o(h^2)
donc en sommant : u(f)(x) = f"(x)

2_ Le théorème des bornes assure que f atteint son maximum en au moins
un point x0 dans [a,c].
Si il est distinct de a et c, c'est parfait.
Sinon, il suffit de prendre x0 = b d'après l'égalité supposée.

Dans tous les cas pour h>0,
f(x0+h) - f(x0) 0+) [f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)]/h^2 = u(f)(x0) 0) [P(x+h)-f(x+h)+P(x-h)-f(x-h)]/h^2
mais je ne trouve pas le moyen de me débarasser de la deuxième limite.
Et là je ne sais pas si la question 2 aide vraiment.

4_ Soit a = 0
et je retrouve facilement la CNS de convexité portant sur les pentes :
[f(b)-f(a)]/(b-a) <= [f(c)-f(a)]/(c-a) <= [f(c)-f(b)]/(c-b)
donc f est convexe.


Merci.
À bientôt.
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Michel [overdose@alussinan.org]