Prouver une inégalité

[Anonyme]

Bonjour,

je veux montrer que l'application d qui à (x,y) de R² associe Ix-yI/(1+Ix-yI)
est une distance sur R.

Je n'arrive pas à prouver l'inegalité triangulaire soit d(x,z)-d(x,y)-d(y,z)<=0

j'ecris Ix-yI/(1+Ix-yI) = 1-1/(1+Ix-yI) puis je majore etc mais je n'arrive pas
à prouver que le tout est <=0 !

pouvez vous m'aider?

[Anonyme]

Dans le message :20031018120008.13901.00000416@mb-m13.aol.com,
Ecce santiago a écrit :
> Bonjour,
>
> je veux montrer que l'application d qui à (x,y) de R² associe
> Ix-yI/(1+Ix-yI) est une distance sur R.
>
> Je n'arrive pas à prouver l'inegalité triangulaire soit
> d(x,z)-d(x,y)-d(y,z)
> j'ecris Ix-yI/(1+Ix-yI) = 1-1/(1+Ix-yI) puis je majore etc mais je
> n'arrive pas à prouver que le tout est
> pouvez vous m'aider?

Bonjour,
Je note Dxy la distance ici définie, et dxy la distance usuelle.

Dxz=1-1/(1+dxz) <= 1-1/(1+dxy+dyz) puisque dxz <= dxy +dyz

donc Dxz <= dxy/(1+dxy+dyz) + dyz/(1+dxy+dyz)
donc Dxz <= dxy/(1+dxy) + dyz/(1+dyz)
c'est à dire Dxz <= Dxy + Dyz
cqfd

--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

On 18 Oct 2003 16:00:08 GMT, eccesantiago@aol.com (Ecce santiago)
wrote:

>Bonjour,
>
>je veux montrer que l'application d qui à (x,y) de R² associe Ix-yI/(1+Ix-yI)
>est une distance sur R.
>
>Je n'arrive pas à prouver l'inegalité triangulaire soit d(x,z)-d(x,y)-d(y,z)
>j'ecris Ix-yI/(1+Ix-yI) = 1-1/(1+Ix-yI) puis je majore etc mais je n'arrive pas
>à prouver que le tout est
>pouvez vous m'aider?
>
>
on peut généraliser
soit f une fonction de R+ dans R+
avec f(0)=0, f strict crois sur R+, f(u+v)<=f(u)+f(v)

si d est une distance sur un ensemble E ,
alors d'=f(d) (cad d'(x,y)=f(d(x,y))est aussi une distance sur E

ici f(u)=u/(1+u)


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Pichereau Alain

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