Propriété à prouver

[Anonyme]

Bonjour,

Quand on veut montrer une propriété (comme la continuité ou la dérivabilité)
sur ]0;+oo[ d'une fonction définie par une intégrale (intégrale dépendant
d'un paramètre), il suffit de la faire sur tous les intervalles [a;A] avec
A>a>0.
Pourquoi alors quand on a montré qu'une suite de fonctions convergeait
uniformément sur tout intervalle du type [a;A] avec A>a>0, ne peut-on pas
dire qu'elle converge uniformément sur ]0;+oo[ ???...
Merci d'avance.

[Anonyme]

"wwbj3" a écrit dans le message de news:
> Quand on veut montrer une propriété (comme la continuité ou la
dérivabilité)
> sur ]0;+oo[ d'une fonction définie par une intégrale (intégrale dépendant
> d'un paramètre), il suffit de la faire sur tous les intervalles [a;A] avec
> A>a>0.
> Pourquoi alors quand on a montré qu'une suite de fonctions convergeait
> uniformément sur tout intervalle du type [a;A] avec A>a>0, ne peut-on pas
> dire qu'elle converge uniformément sur ]0;+oo[ ???...

Essentiellement parce que la continuité ou la dérivabilité sont des
propriétés LOCALES (une fonction est continue sur un intervalle si elle est
continue en chacun des points de cet intervalle) alors que la convergence
uniforme est une propriété GLOBALE (on prend l'intervalle en entier)...

[Anonyme]

> Quand on veut montrer une propriété (comme la continuité ou la
dérivabilité)
> sur ]0;+oo[ d'une fonction définie par une intégrale (intégrale dépendant
> d'un paramètre), il suffit de la faire sur tous les intervalles [a;A] avec
> A>a>0.
> Pourquoi alors quand on a montré qu'une suite de fonctions convergeait
> uniformément sur tout intervalle du type [a;A] avec A>a>0, ne peut-on pas
> dire qu'elle converge uniformément sur ]0;+oo[ ???...
> Merci d'avance.
>

Le truc important est que :
une applicaton de E dans F (où E et F sont deux lK-evn) est continue si et
seulement si elle est continue sur tout compact de E.
Pour prouver ça, il faut prouver que :
étant donnée une suite (u_n) dans E convergente vers une limite l,
l'ensemble X = { u_n, n dans lN } U { l } est un compact de E (vous avez
sûrement démontré ça en cours si tu as fait le chapitre sur les evn).

A partir de ça, lorsque tu auras un théorème sur la *continuité* d'une
intégrale à paramètre (très utile pour l'hypothèse de domination, dans ce
cas dite locale), de la some d'une série d'applications, etc. tu pourras
souvent "te ramener à tout compact".
Mais lorsqu'il s'agit de prouver autre chose que la continuité, il n'y a pas
de simplification similaire.

[Anonyme]

Bonjour wwbj3 (à défaut... ) ,

La suite d'applications (f[n]) converge uniformément sur une partie D de IR vers une application f si et seulement si :

\forall epsilon >0 , \exists N \in IN / \forall n >= N , \forall x \in D , | f[n] (x) - f(x) | 0 ) en raison de la majoration de | f[n] (x) | par A/(2*sqrt(n)) (pense à multiplier par la quantité conjuguée). Par contre, il ne saurait y avoir convergence uniforme sur IR+ de cette suite d'applications, puisque f[n] n'est pas bornée sur IR+.

Dans ce que tu dis d'un autre côté sur la régularité des intégrales dépendant d'un paramètre (continuité, dérivabilité), on a à faire à des propriétés purement locales (pour savoir si une application f est continue ou dérivable en -3 , tu n'as pas besoin de savoir ce qui se passe au voisinage de 7...). Les démonstrations que tu as dû voir des théorèmes correspondants utilisent certes des suites d'applications, mais le caractère local des résultats voulus fait que la convergence uniforme locale (ou sur tout segment) de ces suites d'applications est largement suffisante pour conclure.

Voilou... J'espère avoir répondu à ta question,

Jean-Noël.


"wwbj3" a écrit dans le message de news:41ce6d00$0$32761$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
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> Quand on veut montrer une propriété (comme la continuité ou la dérivabilité)
> sur ]0;+oo[ d'une fonction définie par une intégrale (intégrale dépendant
> d'un paramètre), il suffit de la faire sur tous les intervalles [a;A] avec
> A>a>0.
> Pourquoi alors quand on a montré qu'une suite de fonctions convergeait
> uniformément sur tout intervalle du type [a;A] avec A>a>0, ne peut-on pas
> dire qu'elle converge uniformément sur ]0;+oo[ ???...
> Merci d'avance.
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