A propos de la trace

[Anonyme]

Bonjour,

Je n'arrive pas a trouver ces deux démonstrations

Montrer que tr(t(A)A) est une norme
Montrer que tr(AB) = tr(BA)

Merci

[Anonyme]

Bonjour

"Jean" a écrit dans le message de news:
3fd2e97c$0$19283$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Je n'arrive pas a trouver ces deux démonstrations
>
> Montrer que tr(t(A)A) est une norme
> Montrer que tr(AB) = tr(BA)
>
> Merci
>
>

Pose A = (a_(i,j)), B = (b_(i,j)) et *effectue* les calculs littéralement.

[Anonyme]

> Pose A = (a_(i,j)), B = (b_(i,j)) et *effectue* les calculs littéralement.
>
>
pour les deux?

[Anonyme]

"Jean" a écrit dans le message de news:
3fd3070b$0$19263$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Pose A = (a_(i,j)), B = (b_(i,j)) et *effectue* les calculs[/color]
littéralement.[color=green]
> >
> >
> pour les deux?
>
>[/color]

2)

C = AB, C = (c_(i,j))
Alors c_(i,i) = sum(a_(i,k)*b_(k,i), k=1..n), donc tr(AB) =
sum(a_(i,k)*b_(k,i), k=1..n, i = 1..n).
D = BA, D = (d_(i,j))
Alors d_(i,i) = sum(b_(i,k)*a_(k,i), i=1..n) d'où tr(BA) =
sum(b_(i,k)*a_(k,i), k =1..n, i =1..n) = sum(b_(k,i)*a_(i,k), k=1..n,
i=1..n) = tr(AB) (on a juste permuté les indices).

1) A->Tr(T(A)*A) norme.
Déjà c'est bien défini. Faut voir si c'est à valeurs dans R+.
On pose B = T(A), C = T(A)*A. Alors:
c_(i,j) = sum(b_(i,k)*a_(k,j), k=1..n) =
sum(a_(k,i)*a_(k,j), k =1..n), d'où:
c_(i,i) = sum(a_(k,i)^2, k=1..n), donc la trace de C est positive. OK.
Maintenant la séparation:
Tr(T(A)*A) = 0 c_(i,i) = 0 pour tout i
a_(k,i) =0 pour tout i et tout k A = 0. OK.
Enfin l'inég. triang:
Tr(T(A+B)*(A+B)) -Tr(T(A)*A)-Tr(T(B)*B) =
Tr(T(A)*B+T(B)*A) doit être inférieur ou égal à 0, ce qui n'est pas le cas
il me semble si tu prend A=B=I_n. Donc l'application n'est pas une norme...
sauf erreur de calcul mais là faut que j'y aille je te laisse vérifier.

--
J.S

[Anonyme]

Julien Santini wrote:
> Enfin l'inég. triang:
> Tr(T(A+B)*(A+B)) -Tr(T(A)*A)-Tr(T(B)*B) =
> Tr(T(A)*B+T(B)*A) doit être inférieur ou égal à 0, ce qui n'est pas le cas
> il me semble si tu prend A=B=I_n. Donc l'application n'est pas une norme...
> sauf erreur de calcul mais là faut que j'y aille je te laisse vérifier.

Il est connu que c'est la racien carrée de Tr(T(A)*A) qui est une
norme..c'est presque l'équivalent de la norme euclidienne (norme 2) des
matrices.
C'est la norme de Frobenius qu'on l'appelle.
Je pense qu'on montre ça en écrivant
c_(i,i) = sum((a_(k,i)+b_(k,i))^2, k=1..n)
<= sum(a_(k,i)2, k=1..n)+ sum(b_(k,i)2, k=1..n)+2*sum(|a_(k,i)|,
k=1..n)*sum(|b_(k,i)|, k=1..n)
puis on passe à la racine carrée.

[Anonyme]

"Jean" a écrit dans le message de news:
3fd2e97c$0$19283$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour,
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> Je n'arrive pas a trouver ces deux démonstrations
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> Montrer que tr(t(A)A) est une norme
> Montrer que tr(AB) = tr(BA)
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> Merci
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Ce n'est pas une norme, mais c'est le carré d'une norme.

Pour montrer que sqrt(tr(tA.A)) est une norme, le plus simple est de
montrer qu'elle dérive d'un produit scalaire.
Le produit scalaire est bien évidemment (A,B)=tr(tB.A).
C'est clairement bilinéaire, symétrique (la symétrie vient de tr(tC)=tr(C))
Pour le caractère défini positif, il n'y a qu'à l'écrire : tr(tA.A) est une
double somme de carrés. C'est toujours positif, et nul ssi tous les termes
sont nuls.