Projections orthogonales

[Anonyme]

Bonsoir,

J'ai un petit probleme avec un exercice :

Soit l'ensemble F={(u,v,w,x) appartenant à R4 tq u+2v+3w+4x=0 ;
2u+3v+4w+5x=0 et 4u+11v+18w+25x=0}

1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de R4 et en donner une base et
sa dimension

Pas de probleme : je trouve comme base (dim 2): (1,-2,1,0);(2,-3,0,1)

2) Contruire par la méthode de Schmidt une base orthonormée de F.

Pas de probleme non plus, je trouve comme base :
(1,-2,1,0);(2/3,-1/3,-4/3,1)

3) Définir analytiquement les projections orthogonales sur F et sur F' (F'
étant l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F)

C'est la que je bloque, j'ai aucune idée de la démarche à suivre pour
definir ces projections.

4) Calculer la distance du vecteur a=(1,1,1,1) à F

D'apres mon cours c'est la distance ||a-P(a)|| ; P(a) étant la projection de
a sur F mais je vois pas comment calculer cette distance en pratique.

Merci d'avance.

[Anonyme]

> Soit l'ensemble F={(u,v,w,x) appartenant à R4 tq u+2v+3w+4x=0 ;
> 2u+3v+4w+5x=0 et 4u+11v+18w+25x=0}
>
> 1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de R4 et en donner une base
et
> sa dimension
>
> Pas de probleme : je trouve comme base (dim 2): (1,-2,1,0);(2,-3,0,1)
D'accord.

> 2) Contruire par la méthode de Schmidt une base orthonormée de F.
>
> Pas de probleme non plus, je trouve comme base :
> (1,-2,1,0);(2/3,-1/3,-4/3,1)
Attention, ta base est orthogonale, mais pas orthonormée.

> 3) Définir analytiquement les projections orthogonales sur F et sur F' (F'
> étant l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F)
>
> C'est la que je bloque, j'ai aucune idée de la démarche à suivre pour
> définir ces projections.
Tout vecteur x de R^4 s'écrit de manière unique, x = u+v avec u \in F et v
\in F'. Par définition, la projection sur F est l'application (linéaire),
qui à x associe u. Pour un vecteur x donné, tu trouveras facilement les
coordonnées de u en effectuant le produit scalaire de x par les éléments de
ta base de F.

> 4) Calculer la distance du vecteur a=(1,1,1,1) à F
>
> D'après mon cours c'est la distance ||a-P(a)|| ; P(a) étant la projection
de
> a sur F mais je vois pas comment calculer cette distance en pratique.
Une fois que tu auras résolu la question précédente, cela viendra tout seul.

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Jérôme