bonjour, j'ai d'énormes problèmes en ce qui concerne la décomposition
LU d'une matrice.
Je ne connais pas la méthode qui me permet de trouver les deux
matrices triangulaire L et U, et je n'arrive pas à obtenir d'exemple
précis sur le net.
Donc si quelqu'un voulait bien m'aider et si possible avec un exemple
pour mieux comprendre.
Au pire si vous voulez j'ai un exo de ce type que je le pourrais
mettre ici si quelqu'un voulait bien m'aider la dessus.
Merci d'avance.
F
Problèmes relatifs à la décomposition matricielle.
5 messages
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Re: Problèmes relatifs à la décomposition matricielle.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:29
"Ghostux" dixit:
>bonjour, j'ai d'énormes problèmes en ce qui concerne la décomposition
>LU d'une matrice.
>Je ne connais pas la méthode qui me permet de trouver les deux
>matrices triangulaire L et U, et je n'arrive pas à obtenir d'exemple
>précis sur le net.
>Donc si quelqu'un voulait bien m'aider et si possible avec un exemple
>pour mieux comprendre.
>Au pire si vous voulez j'ai un exo de ce type que je le pourrais
>mettre ici si quelqu'un voulait bien m'aider la dessus.
>Merci d'avance.
>
>F
>
La théorie: on peut écrire toute matrice n x n en 4 parties comme
ceci:
A= (a11 w)
( v A')
où a11 est le premier élément,
w est un vecteur ligne de dimension n-1,
v est un vecteur colonne de dim n-1,
et A' est une sous-matrice (n-1)x(n-1).
Si elle est non singulière, on peut la factoriser ainsi:
A= (1 0 ) (a11 w )
(v/a11 Id) (0 A'-v*w/a11)
où les 0 sont des vecteurs ligne(matrice 1) et colonne(matrice 2) de
dim n-1,
v/a11 est toujours le vecteur colonne de dim n-1,
Id est la matrice identité de (n-1)x(n-1),
et v*w/a11 est le produit extérieur. Le résultat de A'-v*w/a11 est
donc une sous-matrice de dim (n-1)x(n-1).
On peut vérifier que le produit de ces deux matrices donne bien A.
Ensuite on continue recursivement pour la sous-matrice A'-v*w/a11.
Fin de la théorie.
*****
Exemple avec une matrice 4x4:
( 2 3 1 5 )
( 6 13 5 19 )
( 2 19 10 23 )
( 4 10 11 31 )
a- Traiter la ligne 1 et colonne 1:
1-L'élément pivot est [1,1] donc 2. Diviser les éléments de la colonne
1 qui sont sous le pivot par 2:
( 2 3 1 5 )
( 3 13 5 19 )
( 1 19 10 23 )
( 2 10 11 31 )
La sous-matrice 3x3 est formée des éléments qui se trouvent sous la
ligne en traitement et à droite de la colonne en traitement c'est la
sous-matrice
13 5 19
19 10 23
10 11 31
2- pour chaque élément de cette sous-matrice 3x3 faire
element-colonne1*ligne1:
13-3*3=4
5-3*1=2
19-3*5=4
19-1*3=16
10-1*1=9
23-1*5=18
10-2*3=4
11-2*1=9
31-2*5=21
Résultat:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 16 9 18 )
( 2 4 9 21 )
Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 2, colonne 2:
1-L'élément pivot est [2,2] donc 4. Diviser les éléments de la colonne
2 qui sont sous le pivot par 4:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 4 9 18 )
( 2 1 9 21 )
la sous-matrice est maintenant formée des éléments à droite de la
colonne 2 et sous la ligne 2:
9 18
9 21
2- pour chaque élément de cette sous-matrice 2x2 faire
élément-colonne2*ligne2:
9-4*2=1
18-4*4=2
9-1*2=7
21-1*4=17
Résultat:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 4 1 2 )
( 2 1 7 17 )
Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 3, colonne 3:
1-L'élément pivot est [3,3] donc 1. Diviser les éléments de la colonne
3 qui sont sous le pivot par 1, la matrice est inchangée.
La sous-matrice est simplement l'élément 17, donc faire element
-ligne3*colonne3: 17-7*2=3
Résultat:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 4 1 2 )
( 2 1 7 3 )
Cette représentation est la forme compacte, on la sépare en L et U en
placant les éléments au-dessus de la diagonale principale (y compris
cette diagonale) dans U:
( 2 3 1 5 )
( 0 4 2 4 )
( 0 0 1 2 )
( 0 0 0 3 )
et les éléments sous la diagonale principale dans L, avec des 1 sur sa
diagonale:
( 1 0 0 0 )
( 3 1 0 0 )
( 1 4 1 0 )
( 2 1 7 1 )
Ca c'est sans faire de pivot, mais avec pivot ce ne serait pas
beaucoup plus difficile.
Cette version s'appelle algorithme de Dolittle. Il y a aussi
l'algorithme de Crout, c'est la meme chose sauf que ce sont les
éléments de la ligne qui sont divisés par le pivot et non ceux de la
colonne en traitement, et c'est la matrice U qui contient des 1 sur sa
diagonale principale.
>bonjour, j'ai d'énormes problèmes en ce qui concerne la décomposition
>LU d'une matrice.
>Je ne connais pas la méthode qui me permet de trouver les deux
>matrices triangulaire L et U, et je n'arrive pas à obtenir d'exemple
>précis sur le net.
>Donc si quelqu'un voulait bien m'aider et si possible avec un exemple
>pour mieux comprendre.
>Au pire si vous voulez j'ai un exo de ce type que je le pourrais
>mettre ici si quelqu'un voulait bien m'aider la dessus.
>Merci d'avance.
>
>F
>
La théorie: on peut écrire toute matrice n x n en 4 parties comme
ceci:
A= (a11 w)
( v A')
où a11 est le premier élément,
w est un vecteur ligne de dimension n-1,
v est un vecteur colonne de dim n-1,
et A' est une sous-matrice (n-1)x(n-1).
Si elle est non singulière, on peut la factoriser ainsi:
A= (1 0 ) (a11 w )
(v/a11 Id) (0 A'-v*w/a11)
où les 0 sont des vecteurs ligne(matrice 1) et colonne(matrice 2) de
dim n-1,
v/a11 est toujours le vecteur colonne de dim n-1,
Id est la matrice identité de (n-1)x(n-1),
et v*w/a11 est le produit extérieur. Le résultat de A'-v*w/a11 est
donc une sous-matrice de dim (n-1)x(n-1).
On peut vérifier que le produit de ces deux matrices donne bien A.
Ensuite on continue recursivement pour la sous-matrice A'-v*w/a11.
Fin de la théorie.
*****
Exemple avec une matrice 4x4:
( 2 3 1 5 )
( 6 13 5 19 )
( 2 19 10 23 )
( 4 10 11 31 )
a- Traiter la ligne 1 et colonne 1:
1-L'élément pivot est [1,1] donc 2. Diviser les éléments de la colonne
1 qui sont sous le pivot par 2:
( 2 3 1 5 )
( 3 13 5 19 )
( 1 19 10 23 )
( 2 10 11 31 )
La sous-matrice 3x3 est formée des éléments qui se trouvent sous la
ligne en traitement et à droite de la colonne en traitement c'est la
sous-matrice
13 5 19
19 10 23
10 11 31
2- pour chaque élément de cette sous-matrice 3x3 faire
element-colonne1*ligne1:
13-3*3=4
5-3*1=2
19-3*5=4
19-1*3=16
10-1*1=9
23-1*5=18
10-2*3=4
11-2*1=9
31-2*5=21
Résultat:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 16 9 18 )
( 2 4 9 21 )
Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 2, colonne 2:
1-L'élément pivot est [2,2] donc 4. Diviser les éléments de la colonne
2 qui sont sous le pivot par 4:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 4 9 18 )
( 2 1 9 21 )
la sous-matrice est maintenant formée des éléments à droite de la
colonne 2 et sous la ligne 2:
9 18
9 21
2- pour chaque élément de cette sous-matrice 2x2 faire
élément-colonne2*ligne2:
9-4*2=1
18-4*4=2
9-1*2=7
21-1*4=17
Résultat:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 4 1 2 )
( 2 1 7 17 )
Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 3, colonne 3:
1-L'élément pivot est [3,3] donc 1. Diviser les éléments de la colonne
3 qui sont sous le pivot par 1, la matrice est inchangée.
La sous-matrice est simplement l'élément 17, donc faire element
-ligne3*colonne3: 17-7*2=3
Résultat:
( 2 3 1 5 )
( 3 4 2 4 )
( 1 4 1 2 )
( 2 1 7 3 )
Cette représentation est la forme compacte, on la sépare en L et U en
placant les éléments au-dessus de la diagonale principale (y compris
cette diagonale) dans U:
( 2 3 1 5 )
( 0 4 2 4 )
( 0 0 1 2 )
( 0 0 0 3 )
et les éléments sous la diagonale principale dans L, avec des 1 sur sa
diagonale:
( 1 0 0 0 )
( 3 1 0 0 )
( 1 4 1 0 )
( 2 1 7 1 )
Ca c'est sans faire de pivot, mais avec pivot ce ne serait pas
beaucoup plus difficile.
Cette version s'appelle algorithme de Dolittle. Il y a aussi
l'algorithme de Crout, c'est la meme chose sauf que ce sont les
éléments de la ligne qui sont divisés par le pivot et non ceux de la
colonne en traitement, et c'est la matrice U qui contient des 1 sur sa
diagonale principale.
Re: Problèmes relatifs à la décomposition matricielle.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:29
"Sylvain Croussette" a écrit dans
le message de news: obh1i0t42afhr49v659blm6blrlkubsj2k@4ax.com...[color=green]
> >
> La théorie: on peut écrire toute matrice n x n en 4 parties comme
> ceci:
> A= (a11 w)
> ( v A')
> où a11 est le premier élément,
> w est un vecteur ligne de dimension n-1,
> v est un vecteur colonne de dim n-1,
> et A' est une sous-matrice (n-1)x(n-1).
>
> Si elle est non singulière, on peut la factoriser ainsi:
> A= (1 0 ) (a11 w )
> (v/a11 Id) (0 A'-v*w/a11)
> où les 0 sont des vecteurs ligne(matrice 1) et colonne(matrice 2) de
> dim n-1,
> v/a11 est toujours le vecteur colonne de dim n-1,
> Id est la matrice identité de (n-1)x(n-1),
> et v*w/a11 est le produit extérieur. Le résultat de A'-v*w/a11 est
> donc une sous-matrice de dim (n-1)x(n-1).
>
> On peut vérifier que le produit de ces deux matrices donne bien A.
>
> Ensuite on continue recursivement pour la sous-matrice A'-v*w/a11.
> Fin de la théorie.
> *****
> Exemple avec une matrice 4x4:
>
> ( 2 3 1 5 )
> ( 6 13 5 19 )
> ( 2 19 10 23 )
> ( 4 10 11 31 )
>
> a- Traiter la ligne 1 et colonne 1:
> 1-L'élément pivot est [1,1] donc 2. Diviser les éléments de la[/color]
colonne
> 1 qui sont sous le pivot par 2:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 13 5 19 )
> ( 1 19 10 23 )
> ( 2 10 11 31 )
>
> La sous-matrice 3x3 est formée des éléments qui se trouvent sous la
> ligne en traitement et à droite de la colonne en traitement c'est la
> sous-matrice
>
> 13 5 19
> 19 10 23
> 10 11 31
>
> 2- pour chaque élément de cette sous-matrice 3x3 faire
> element-colonne1*ligne1:
> 13-3*3=4
> 5-3*1=2
> 19-3*5=4
> 19-1*3=16
> 10-1*1=9
> 23-1*5=18
> 10-2*3=4
> 11-2*1=9
> 31-2*5=21
> Résultat:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 16 9 18 )
> ( 2 4 9 21 )
>
> Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 2, colonne 2:
> 1-L'élément pivot est [2,2] donc 4. Diviser les éléments de la
colonne
> 2 qui sont sous le pivot par 4:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 4 9 18 )
> ( 2 1 9 21 )
>
> la sous-matrice est maintenant formée des éléments à droite de la
> colonne 2 et sous la ligne 2:
> 9 18
> 9 21
> 2- pour chaque élément de cette sous-matrice 2x2 faire
> élément-colonne2*ligne2:
> 9-4*2=1
> 18-4*4=2
> 9-1*2=7
> 21-1*4=17
> Résultat:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 4 1 2 )
> ( 2 1 7 17 )
>
> Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 3, colonne 3:
> 1-L'élément pivot est [3,3] donc 1. Diviser les éléments de la
colonne
> 3 qui sont sous le pivot par 1, la matrice est inchangée.
>
> La sous-matrice est simplement l'élément 17, donc faire element
> -ligne3*colonne3: 17-7*2=3
> Résultat:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 4 1 2 )
> ( 2 1 7 3 )
>
> Cette représentation est la forme compacte, on la sépare en L et U
en
> placant les éléments au-dessus de la diagonale principale (y compris
> cette diagonale) dans U:
>
> ( 2 3 1 5 )
> ( 0 4 2 4 )
> ( 0 0 1 2 )
> ( 0 0 0 3 )
> et les éléments sous la diagonale principale dans L, avec des 1 sur
sa
> diagonale:
> ( 1 0 0 0 )
> ( 3 1 0 0 )
> ( 1 4 1 0 )
> ( 2 1 7 1 )
>
> Ca c'est sans faire de pivot, mais avec pivot ce ne serait pas
> beaucoup plus difficile.
>
> Cette version s'appelle algorithme de Dolittle. Il y a aussi
> l'algorithme de Crout, c'est la meme chose sauf que ce sont les
> éléments de la ligne qui sont divisés par le pivot et non ceux de la
> colonne en traitement, et c'est la matrice U qui contient des 1 sur
sa
> diagonale principale.
>
Bon on va aller digerer ca, merci beaucoup.
le message de news: obh1i0t42afhr49v659blm6blrlkubsj2k@4ax.com...[color=green]
> >
> La théorie: on peut écrire toute matrice n x n en 4 parties comme
> ceci:
> A= (a11 w)
> ( v A')
> où a11 est le premier élément,
> w est un vecteur ligne de dimension n-1,
> v est un vecteur colonne de dim n-1,
> et A' est une sous-matrice (n-1)x(n-1).
>
> Si elle est non singulière, on peut la factoriser ainsi:
> A= (1 0 ) (a11 w )
> (v/a11 Id) (0 A'-v*w/a11)
> où les 0 sont des vecteurs ligne(matrice 1) et colonne(matrice 2) de
> dim n-1,
> v/a11 est toujours le vecteur colonne de dim n-1,
> Id est la matrice identité de (n-1)x(n-1),
> et v*w/a11 est le produit extérieur. Le résultat de A'-v*w/a11 est
> donc une sous-matrice de dim (n-1)x(n-1).
>
> On peut vérifier que le produit de ces deux matrices donne bien A.
>
> Ensuite on continue recursivement pour la sous-matrice A'-v*w/a11.
> Fin de la théorie.
> *****
> Exemple avec une matrice 4x4:
>
> ( 2 3 1 5 )
> ( 6 13 5 19 )
> ( 2 19 10 23 )
> ( 4 10 11 31 )
>
> a- Traiter la ligne 1 et colonne 1:
> 1-L'élément pivot est [1,1] donc 2. Diviser les éléments de la[/color]
colonne
> 1 qui sont sous le pivot par 2:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 13 5 19 )
> ( 1 19 10 23 )
> ( 2 10 11 31 )
>
> La sous-matrice 3x3 est formée des éléments qui se trouvent sous la
> ligne en traitement et à droite de la colonne en traitement c'est la
> sous-matrice
>
> 13 5 19
> 19 10 23
> 10 11 31
>
> 2- pour chaque élément de cette sous-matrice 3x3 faire
> element-colonne1*ligne1:
> 13-3*3=4
> 5-3*1=2
> 19-3*5=4
> 19-1*3=16
> 10-1*1=9
> 23-1*5=18
> 10-2*3=4
> 11-2*1=9
> 31-2*5=21
> Résultat:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 16 9 18 )
> ( 2 4 9 21 )
>
> Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 2, colonne 2:
> 1-L'élément pivot est [2,2] donc 4. Diviser les éléments de la
colonne
> 2 qui sont sous le pivot par 4:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 4 9 18 )
> ( 2 1 9 21 )
>
> la sous-matrice est maintenant formée des éléments à droite de la
> colonne 2 et sous la ligne 2:
> 9 18
> 9 21
> 2- pour chaque élément de cette sous-matrice 2x2 faire
> élément-colonne2*ligne2:
> 9-4*2=1
> 18-4*4=2
> 9-1*2=7
> 21-1*4=17
> Résultat:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 4 1 2 )
> ( 2 1 7 17 )
>
> Ensuite on fait la meme chose pour la ligne 3, colonne 3:
> 1-L'élément pivot est [3,3] donc 1. Diviser les éléments de la
colonne
> 3 qui sont sous le pivot par 1, la matrice est inchangée.
>
> La sous-matrice est simplement l'élément 17, donc faire element
> -ligne3*colonne3: 17-7*2=3
> Résultat:
> ( 2 3 1 5 )
> ( 3 4 2 4 )
> ( 1 4 1 2 )
> ( 2 1 7 3 )
>
> Cette représentation est la forme compacte, on la sépare en L et U
en
> placant les éléments au-dessus de la diagonale principale (y compris
> cette diagonale) dans U:
>
> ( 2 3 1 5 )
> ( 0 4 2 4 )
> ( 0 0 1 2 )
> ( 0 0 0 3 )
> et les éléments sous la diagonale principale dans L, avec des 1 sur
sa
> diagonale:
> ( 1 0 0 0 )
> ( 3 1 0 0 )
> ( 1 4 1 0 )
> ( 2 1 7 1 )
>
> Ca c'est sans faire de pivot, mais avec pivot ce ne serait pas
> beaucoup plus difficile.
>
> Cette version s'appelle algorithme de Dolittle. Il y a aussi
> l'algorithme de Crout, c'est la meme chose sauf que ce sont les
> éléments de la ligne qui sont divisés par le pivot et non ceux de la
> colonne en traitement, et c'est la matrice U qui contient des 1 sur
sa
> diagonale principale.
>
Bon on va aller digerer ca, merci beaucoup.
Re: Problèmes relatifs à la décomposition matricielle.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:29
Les matrices ... :s , et bien re-bonjour.
voilà j'ai un exo sur les matrices, et il y a une question qui me
taquine un peu car la solution que je trouve me parait erroné.
Soit B une matrice réelle de taille 2x2.
g pris B=
a b
c d
on a A=B-(1/2 trB)_2 (le 2 est en indice)
Donc on me demande de montrer que trA=0, d'exprimer le poly
caracteristique Xa de A a l'aide du det A, jusque là tout va bien.
Puis on me demande de calculer le poly carct. de B a l'aide de trB et
de detB?
si B est du type
a b
c d
son poly carc serait: (a-k)(d-k)-bc .Or je ne vois pas comment avoir
le det et la trace dans tout ça.
Autre question on me demande d'en déduire que A²=-(detA)_2
et là ca coince!
donc si quelqu'un pouvait me "re-aider" ce serait tres sympa!
Merci beaucoup.
F
voilà j'ai un exo sur les matrices, et il y a une question qui me
taquine un peu car la solution que je trouve me parait erroné.
Soit B une matrice réelle de taille 2x2.
g pris B=
a b
c d
on a A=B-(1/2 trB)_2 (le 2 est en indice)
Donc on me demande de montrer que trA=0, d'exprimer le poly
caracteristique Xa de A a l'aide du det A, jusque là tout va bien.
Puis on me demande de calculer le poly carct. de B a l'aide de trB et
de detB?
si B est du type
a b
c d
son poly carc serait: (a-k)(d-k)-bc .Or je ne vois pas comment avoir
le det et la trace dans tout ça.
Autre question on me demande d'en déduire que A²=-(detA)_2
et là ca coince!
donc si quelqu'un pouvait me "re-aider" ce serait tres sympa!
Merci beaucoup.
F
Re: Problèmes relatifs à la décomposition matricielle.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:29
"Ghostux" a écrit dans le message de news:
412206bf$0$7595$636a15ce@news.free.fr...
>
> Les matrices ... :s , et bien re-bonjour.
>...
> donc si quelqu'un pouvait me "re-aider" ce serait tres sympa!
> Merci beaucoup.
>
> F
>
Ah je crois avoir trouvé , merci quand meme
bonne fin de journee.
f
412206bf$0$7595$636a15ce@news.free.fr...
>
> Les matrices ... :s , et bien re-bonjour.
>...
> donc si quelqu'un pouvait me "re-aider" ce serait tres sympa!
> Merci beaucoup.
>
> F
>
Ah je crois avoir trouvé , merci quand meme
bonne fin de journee.
f
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