Probleme de groupe

[Anonyme]

Bonsoir,

Soit G un groupe tq a*a=e
Soit H un sous groupe de G et a un element de G n'appartenant pas a H

On me demande de montrer que l'intersection de aH et de H est nulle et que
aH union H est un sous groupe

Je ne comprend pas, l'enoncé me semble contrdictoire. si aH union H est un
sous groupe alors on a forcement aH inclus dans H ou H inclus dans aH. Mais
si l'intersection est nulle, aH union H ne peut etre un sous groupe. Je me
trompe?

[Anonyme]

"Antoine" a écrit dans le message de
news:3fad36fa$0$27022$626a54ce@news.free.fr...
> Bonsoir,
>
> Soit G un groupe tq a*a=e
> Soit H un sous groupe de G et a un element de G n'appartenant pas a H
>
> On me demande de montrer que l'intersection de aH et de H est nulle et que
> aH union H est un sous groupe
>
> Je ne comprend pas, l'enoncé me semble contrdictoire. si aH union H est un
> sous groupe alors on a forcement aH inclus dans H ou H inclus dans aH.
Mais
> si l'intersection est nulle, aH union H ne peut etre un sous groupe. Je me
> trompe?
>
>

[Anonyme]

Antoine a écrit
> Soit G un groupe tq a*a=e
> Soit H un sous groupe de G et a un element
> de G n'appartenant pas a H
> On me demande de montrer que l'intersection
> de aH et de H est nulle et que aH union H est
> un sous groupe

1)
Un élément x de aH s'écrit x = a y, avec y dans H.

Si x était dans H alors x (y^-1) = a y (y^-1) = a
serait aussi dans H, d'où contradiction.

Donc aH et H n'ont pas d'élément commun (hormis e)

2)
Soient x et y deux éléments de aH union H, il suffit de
montrer que x (y^-&) est dans aH union H. C'est facile,
il suffit de discuter en fonction des cas x et y dans aH
ou dans H ou l'un dans ah et l'autre dans H ...


> Je ne comprend pas, l'enoncé me semble contrdictoire.
> si aH union H est un sous groupe alors on a forcement
> aH inclus dans H ou H inclus dans aH.

Non, la preuve. Prend par exemple Z et sqrt(2) * Z.
Ce sont deux sous groupes de (R, +) disjoints dont la
réunion est un sous-groupe de (R, +) dont les éléments
sont de la forme p + sqrt(2) * q (p et q dans Z).

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Mais n'a t-on pas l'equivalence?

H U G sous groupe H inclus dans G ou G inclus dans H

[Anonyme]

> Si x était dans H alors x (y^-1) = a y (y^-1) = a
> serait aussi dans H, d'où contradiction.
>
> Donc aH et H n'ont pas d'élément commun (hormis e)


Pourquoi "hormis e"?
Tu viens de démontrer que l'intersection était vide!
[color=green]
> > Je ne comprend pas, l'enoncé me semble contrdictoire.
> > si aH union H est un sous groupe alors on a forcement
> > aH inclus dans H ou H inclus dans aH.
>
> Non, la preuve. Prend par exemple Z et sqrt(2) * Z.
> Ce sont deux sous groupes de (R, +) disjoints dont la
> réunion est un sous-groupe de (R, +) dont les éléments
> sont de la forme p + sqrt(2) * q (p et q dans Z).[/color]

Ou tout simplement Z et 1+Z.
Le résultat étant que si une réunion d'un nombre fini de _sous-groupes_ est
un sous-groupe, il y en a un qui contient tous les autres.

--
Maxi

[Anonyme]

Antoine a écrit
> Mais n'a t-on pas l'equivalence?
> H U G sous groupe H inclus dans
> G ou G inclus dans H

C'est possible mais dans ton problème aH n'est
pas un groupe. Mais mon exemple était mauvais,
en voici un autre.

Dans le groupe multiplicatif R* prenons
H = R*+ et a = -1

H est bien un sous groupe et on a bien a² = 1

On peut vérifier que aH union H est un groupe
(c'est R*)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Maxi a écrit dans
> Pourquoi "hormis e"?
> Tu viens de démontrer que l'intersection
> était vide!

Oui c'est vrai. J'ai eu le mauvais réflexe de
croire que aH était un sous-groupe.

> Ou tout simplement Z et 1+Z.

Oui mais 1 + 1 ne fait pas 0.

> Le résultat étant que si une réunion d'un nombre
> fini de _sous-groupes_ est un sous-groupe, il y en
> a un qui contient tous les autres.

Ici aH n'est pas un sous-groupe. Sinon comment se
montre ce résultat ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Maxi" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50589), a écrit :
> Le résultat étant que si une réunion d'un nombre fini de _sous-groupes_
> est un sous-groupe, il y en a un qui contient tous les autres.

Euh.... et si je réunis tous les sous-groupes stricts d'un groupe fini.

[Anonyme]

"Xavier Caruso" a écrit

> Euh.... et si je réunis tous les sous-groupes stricts d'un groupe fini.

Désolé, je me suis emballé.

--
Maxi
C'est pas encore ça pour passer l'agreg...

[Anonyme]

Le Sat, 8 Nov 2003 21:14:39 +0100 "Pierre Capdevila"
a écrit :
[color=green]
> > Le résultat étant que si une réunion d'un nombre
> > fini de _sous-groupes_ est un sous-groupe, il y en
> > a un qui contient tous les autres.
>
> Ici aH n'est pas un sous-groupe. Sinon comment se
> montre ce résultat ?[/color]

Pour une reunion de deux sous-groupes : tu pars d'un element x de H\G, un
element y de G\H et tu te poses des questions sur l'appartenance du nombre
x+y a HUG (H union G).

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr
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