Problème de borne [sup]

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Un petit problème de borne que je n'arrive pas à résoudre, je "vois" bien la
chose mais ne parvient à rédiger :

Soit F l'ensemble des fonctions f paire telles que f(0) = 1, f est de
classe Cinf, vérifie f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y), s'annule au moins une fois
sur R.

Soit E l'ensemble des x > 0 tels que f(x) = 0.

J'ai montré que E avait une borne inférieure a. Je dois montrer que f(a) = 0
par l'absurde.

Comment faire ? Je n'arrive pas à rédiger ce que je vois clairement.

Merci !

[Anonyme]

Vincent SPRIT a écrit
> Soit F l'ensemble des fonctions f paire telles que f(0) = 1, f est de
> classe Cinf, vérifie f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y), s'annule au moins une
fois
> sur R.

Comme cos(x) par exemple ?

> Soit E l'ensemble des x > 0 tels que f(x) = 0.

> J'ai montré que E avait une borne inférieure a.

Comme a = pi/2 ?

> Je dois montrer que f(a) = 0 par l'absurde.

Utilise la continuité de f en a. En gros si f(a) est
différent de 0 alors f(a+epsilon) est aussi différent
de 0 (pour epsilon assez petit à déterminer) donc
a n'est pas le plus petit minorant de E.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Tout d'abord, en dérivant deux fois, on obtient que trois types de fonctions
sont solutions
f(x) = a*x + b
f(x) = ch(x)
f(x) = cos(x)
Si tu suppose qu'elle est paire et s'annule une fois, ta solution est
forcément cos...

En revenant à ton pb, pour tout epsilon>0, il existe x annulant f tel que
a-epsilon < x <= a + epsilon
alors f(x) + f(a+epsilon) = 2*f((x+a+epsilon)/2)*f((x-a-epsilon)/2)
f(x)=0
f est continue, tu prends la limite quand a tend vers 0 (x tend alors vers
a)
f(a) = 2*f(a)

Donc f(a)=0

[Anonyme]

> alors f(x) + f(a+epsilon) = 2*f((x+a+epsilon)/2)*f((x-a-epsilon)/2)
> f(x)=0
> f est continue, tu prends la limite quand a tend vers 0 (x tend alors vers
> a)
> f(a) = 2*f(a)
>
> Donc f(a)=0

Il devient quoi le epsilon qd a tend vers 0 ?

[Anonyme]

"Vincent Tejedor" a écrit dans le message
de news:403519b9$0$5914$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Tout d'abord, en dérivant deux fois, on obtient que trois types de
fonctions
> sont solutions
> f(x) = a*x + b
> f(x) = ch(x)
> f(x) = cos(x)
> Si tu suppose qu'elle est paire et s'annule une fois, ta solution est
> forcément cos...
>
> En revenant à ton pb, pour tout epsilon>0, il existe x annulant f tel que
> a-epsilon alors f(x) + f(a+epsilon) = 2*f((x+a+epsilon)/2)*f((x-a-epsilon)/2)
> f(x)=0
> f est continue, tu prends la limite quand a tend vers 0 (x tend alors vers
> a)
> f(a) = 2*f(a)
>
> Donc f(a)=0
>
>

On peut aussi dire que l'image réciproque de {0} par une fonction continue
est un fermé.

[Anonyme]

"Vincent SPRIT" a écrit dans le message de
news:40350003$0$28625$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour à tous,
>
> Un petit problème de borne que je n'arrive pas à résoudre, je "vois" bien
la
> chose mais ne parvient à rédiger :
>
> Soit F l'ensemble des fonctions f paire telles que f(0) = 1, f est de
> classe Cinf, vérifie f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y), s'annule au moins une
fois
> sur R.
>
> Soit E l'ensemble des x > 0 tels que f(x) = 0.
>
> J'ai montré que E avait une borne inférieure a. Je dois montrer que f(a) =
0
> par l'absurde.
>

E est non vide et minoré donc admet une borne inférieure.
Tu peux définir une suite u d'élemente de E tel que lim(u_n) = a (propriété
classique
de la borne sup - et inf)
f(u_n) = 0 pour tout n donc lim f(u_n) = 0
par ailleurs, f étant continue, f(u_n) tends vers f(a)
par unicité de la limite, tu as bien f(a) = 0.

[Anonyme]

Euh, il fallait comprendre limite quadn epsilon tend vers 0, lapsus
Alors x tend vers a...

Désolé, le soir j'ai qqs problèmes pour être clair!!

[Anonyme]

"CB" a écrit
> On peut aussi dire que l'image réciproque
> de {0} par une fonction continue est un fermé.

Je dirais plutôt soit b tel que f(b) = 0 et soit
E = { x dans IR | f(x) = 0 , 0 <= x <= b}

On peut écrire E = F inter G
où F = f^(-1){0} et G = [0,b]

E est un fermé (intersection de deux fermés)
borné (inclus dans la boule fermée [0,b]) non vide
(car il contient b) donc c'est un compact de IR.

Il contient donc sa borne inférieure a, donc f(a) = 0

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr