Problème: Le baton le plus long dans un domaine

[Anonyme]

Bonjour,

On m'a donné il y a quelque temps le problème suivant :
J'ai un domaine dans le plan ayant une forme de ce type (un L majuscule
en gros):

,--------.
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| |
| |..........
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| |
`-------------------'

Il faut trouver le baton (dans le plan) le plus long que l'on peut
faire tenir dans ce domaine.

On m'a proposé comme solution de tester toutes les configuration
possibles de baton dans ce domaine à l'aide d'un ordinateur mais ce
n'est pas la solution que je cherche.

La personne m'ayant posé ce problème m'a donné un indice : Il y a du
calcul intégral.

J'ai beau avoir passé pas mal de temps à réfléchir mais je ne
trouve pas.


Si quelqu'un à une idée ...


Merci d'avance

Sylvain

[Anonyme]

Bonjour,

Il y a certainement, comme souvent dans ce genre de problèmes, une solution
géométrique simple et élégante. Je ne l'ai pas trouvée. Voici une approche
un peu plus lourde mais qui aboutit à un réultat assez simple :

Donnons des noms aux points de la figure


A--------B
| | alpha = angle HAC
| | beta = angle FEC
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H........C..........D
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| | |
G--------F----------E

Le résultat est le suivant :
- Si C est hors de AEG, le segment max est AE
- Si C est dans AEG et AG/cos(alpha) >= EG/cos(beta), le segment cherché
est l'intersection de la droite AC et du domaine.
- Si C est dans AEG et AG/cos(alpha) < EG/cos(beta), le segment cherché
est l'intersection de la droite EC et du domaine.

Démonstration :


1) d'abord un constat simple : Si C est hors du triangle AEG, la longueur
cherchée est AE.
Je pense qu'il n'y a pas à démontrer cela.

Nous considèrerons donc maintenant que C est dans AEG. La droite AC coupe
donc GE en A' entre F et E. De même la droite EC coupe AG en E' entre A et H
:

A--------B
| | alpha = angle HAC
| | beta = angle FEC
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E' |
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H........C..........D
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G--------F---A'-----E

2) ensuite le segment recherché ne peut être entièrement inclus dans ABFG,
ce qui implique qu'une de ses extrémités est dans CDEF.
En effet, s'il est inclus dans ABFD, il est inférieur ou égal à AF, qui est
lui-même strictement inférieur à AX, pour tout point X de FA'.

3) De même, le segment recherché ne peut être entièrement inclus dans EDHG,
ce qui implique qu'une de ses extrémités est dans ABCH.
Même démonstration

Donc, Une extrémité est sur [AB] ou [AH] et l'autre sur [ED] ou [EF]
==============================================================

4) Aucune extrémité n'est sur ]AB], et donc une des extrémités est sur [AH]
Il est en effet facile de voir que si XY est dans le domaine, avec X
sur ]AB] et Y dans CDEF, alors AY est dans le domaine et de longueur
supérieure strictement à XY.

5) Aucune extrémité n'est sur ]ED], et donc une des extrémités est sur [EF]
Même démonstration

Donc, une extrémité, X, est sur [AH] et l'autre, Y, sur [EF]
=====================================================

6) C appartient au segment recherché
En effet, puisque C est dans AEG, le segment ne peut être AG. Donc X est
différent de A ou Y est différent de E.
Si X est différent de A, XY est inférieur à X'Y pour tout X' dans [AX] et
tel que X'Y est dans le domaine (X' existe si C n'est pas sur XY) et XY ne
peut être maximal.
Si Y est différent de E, XY est inférieur à XY' pour tout Y' dans [YE] et
tel que XY' est dans le domaine (Y' existe si C n'est pas sur XY) et XY ne
peut être maximal.


Appelons alors thêta l'angle HCX (entre FEC et HCA)
La longueur XY vaut XC + CY = HC/cos(thêta) + CF/sin(thêta)

Or :
1/cos(x) est une fonction convexe sur ]0, pi/2[
1/sin(x) est une fonction convexe sur ]0, pi/2[
Donc :
HC/cos(thêta) + CF/sin(thêta) est une fonction convexe sur [FEC, HCA]

Donc elle atteint son maximum pour thêta=FEC ou thêta = HCA.

Le maximum cherché est donc max (AA', EE')
Comme AA' = AG/cos(alpha) et EE'= EG/cos(beta), la démonstration est
terminée.