Problème de bases 5, 7, 10

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un problème pour résoudre ces 2 exerecices, est ce que quelqu'un
peut m'aider ?

1.
Un imprimeur doit paginer un livre de 732 pages . Il décide de paginer
en base cinq . Combien de caractères utilise-t-il ? Quel est le numé
ro de la dernière page ?


2.
Pour paginer un livre en base cinq on a utilisé 2 959 caractères
d'imprimerie . (rem. : 2 959 est écrit en base dix ) . Quel est ,
exprimé en base dix , le nombre de pages ? Quel est , exprimé en base
cinq , le numéro de la dernière page ? Dans cette pagination en base
cinq , combien de numéros sont terminés par au moins un zéro ?


Merci de votre aide.

[Anonyme]

bonjour

pour t'aider:
ecris 732 comme une somme de puissances de 10 (7.10^2 + 3.10^1 + 2.10^0)
à partir de là transforme en une somme de puissances de 5. Les coefficients
(inférieurs à 5) mis bout à bout te donne le numéro de la dernière page en
base 5.

hope this helps
Philippe


"Célia" a écrit dans le message de news:
20050410111619.3bd35ca7@localhost.localdomain...
Bonjour,

J'ai un problème pour résoudre ces 2 exerecices, est ce que quelqu'un
peut m'aider ?

1.
Un imprimeur doit paginer un livre de 732 pages . Il décide de paginer
en base cinq . Combien de caractères utilise-t-il ? Quel est le numé
ro de la dernière page ?


2.
Pour paginer un livre en base cinq on a utilisé 2 959 caractères
d'imprimerie . (rem. : 2 959 est écrit en base dix ) . Quel est ,
exprimé en base dix , le nombre de pages ? Quel est , exprimé en base
cinq , le numéro de la dernière page ? Dans cette pagination en base
cinq , combien de numéros sont terminés par au moins un zéro ?


Merci de votre aide.

[Anonyme]

Célia a écrit:
> Bonjour,
>
> J'ai un problème pour résoudre ces 2 exerecices, est ce que quelqu'un
> peut m'aider ?
>
> 1.
> Un imprimeur doit paginer un livre de 732 pages . Il décide de paginer
> en base cinq . Combien de caractères utilise-t-il ? Quel est le numé
> ro de la dernière page ?

"Compter en base cinq", cela signifie en groupant les objets à compter
par paquets de 5, puis de 25 (5^2) , 125 (5^3), 625 (5^4), 3125 (5^5),...
Le chiffre le plus à droite compte 'ce qui reste' : les unités
Le second chiffre en partant de la droite compte les paquets de 25
Le troisiéme chiffre en partant de la droite compte les paquets de 125,
....
Or 732 vaut plus que 625 mais moins que 625+125...
Réponse : il faut 5 chiffres (et la dernière page porte le code 10412 :
soit (nbs en base 10) 1*625+0*125+4*25+1*5+2.

>
> 2.
> Pour paginer un livre en base cinq on a utilisé 2 959 caractères
> d'imprimerie . (rem. : 2 959 est écrit en base dix ) . Quel est ,
> exprimé en base dix , le nombre de pages ? Quel est , exprimé en base
> cinq , le numéro de la dernière page ? Dans cette pagination en base
> cinq , combien de numéros sont terminés par au moins un zéro ?

Ouh là ca se complique ! je comprends que l'on a écrit les numeros de
page en base 5 et que l'ensemble de ces numéros (1, 2, 3, 4, 10,11,... )
ont 'consommé' 2959 caractères, c'est bien ça ?

>
> Merci de votre aide.
De rien.

[Anonyme]

Le Sun, 10 Apr 2005 14:11:35 +0200
Paul Delannoy vous écriviez :

> "Compter en base cinq", cela signifie en groupant les objets à compter
> par paquets de 5, puis de 25 (5^2) , 125 (5^3), 625 (5^4), 3125
(5^5),...
> Le chiffre le plus à droite compte 'ce qui reste' : les unités
> Le second chiffre en partant de la droite compte les paquets de 25
> Le troisiéme chiffre en partant de la droite compte les paquets de
125,
> ...
> Or 732 vaut plus que 625 mais moins que 625+125...
> Réponse : il faut 5 chiffres (et la dernière page porte le code 10412
:
> soit (nbs en base 10) 1*625+0*125+4*25+1*5+2.

Merci pour cet exercice, je comprends mieux désormais.


> Ouh là ca se complique ! je comprends que l'on a écrit les numeros de
> page en base 5 et que l'ensemble de ces numéros (1, 2, 3, 4, 10,11,...
)
> ont 'consommé' 2959 caractères, c'est bien ça ?

oui, je le comprends aussi comme cela, mais ça m'avance pas trop.

[Anonyme]

Paul Delannoy a écrit :
> Célia a écrit:[color=green]
> > 1.
> > Un imprimeur doit paginer un livre de 732 pages . Il décide de paginer
> > en base cinq . Combien de caractères utilise-t-il ? Quel est le numé
> > ro de la dernière page ?
> (...)
> Or 732 vaut plus que 625 mais moins que 625+125...
> Réponse : il faut 5 chiffres (et la dernière page porte le code 10412 :
> soit (nbs en base 10) 1*625+0*125+4*25+1*5+2.[/color]
En fait, je comprends aussi la première question comme la seconde, à
savoir :
> (...)
> Ouh là ca se complique ! je comprends que l'on a écrit les numeros de
> page en base 5 et que l'ensemble de ces numéros (1, 2, 3, 4, 10,11,... )
> ont 'consommé' 2959 caractères, c'est bien ça ?
Auquel cas, bien sûr la dernière page porte le numéro 10412 mais pour
répondre au nombre de caractères utilisés ce serait plutôt :
4+(4*5)*2+(4*5*5)*3+(4*5*5*5)*4+(3+5+4*25)*5
(l'astuce est que le premier chiffre n'est jamais 0, d'où les "4" dans
chaque terme : il n'y a que 4 possibilités pour le premier chiffre, 5
pour les autres ; par ailleurs, 3+5+4*25 est la traduction en base 10 de
10412-4444=413 en base 5)

Une autre approche est de considérer que tous les nombres sont écrits
avec 5 chiffres et de retrancher le nombre de "0" en trop qui
apparaissent devant :
732*5-(4*4+(4*5)*3+(4*5*5)*2+(4*5*5*5)*1)

Les deux calculs donnent bien le même résultat :
2884 caractères (du premier coup, je suis étonné d'avoir trouvé tiens).
--
Gabriel Kerneis

[Anonyme]

Célia a écrit:
> Le Sun, 10 Apr 2005 14:11:35 +0200
> Paul Delannoy vous écriviez :
> :
>[color=green]
>>Ouh là ca se complique ! je comprends que l'on a écrit les numeros de
>>page en base 5 et que l'ensemble de ces numéros (1, 2, 3, 4, 10,11,...)
>>ont 'consommé' 2959 caractères, c'est bien ça ?
>
>
> oui, je le comprends aussi comme cela, mais ça m'avance pas trop. [/color]

Alors : commencons par compter les nbs qui ont 1 chiffre en base 5 : 4
puis 2 chiffres : 20, trois chiffres : ...
et essayons de comprendre comment, sachant qu'il y a un nb N(c) de
nombres de c chiffres, on va calculer N(c+1) ? par ex : on prend un
nombre de c chiffres, et on peut en écrire 5 qui ont c+1 chiffres en
écrivant 0,1,2,3, ou 4 à la fin de son écriture : donc N(c+1) vaut
....*N(c) ; et on va donc connaitre le nb N(c) par récurrence. Le nb de
chiffres 'consommés par cette tranche du livre est donc c*N(c). Un petit
tableau des valeurs c, N(c) c*N(c), somme des valeurs de la précedente
montre que pour c=4 on a consommé 2344 signes. Le dernier n° de page a
donc 5 chiffres et les numéros à 5 chiffres utilisés représentent
2959-2344 soit 615 chiffres, donc 615/5=123 pages.
les pages précédentes sont au nombre de N(1)+N(2)+N(3)+N(4) soit 624, le
livre a donc 747 pages (en base 10). le numéro de la dernière page est
ce nombre en base 5 (je trouve 10442).
Le nombre de numéros de page terminés par un 0 (au moins) c'est le
nombre de nombres divisibles par ?... je te laisse trouver.
Bonne soirée.

[Anonyme]

Juste une précision car mon précédent message n'était pas clair du tout
: je répondais à la première partie de la première question, qui avait
été éludée dans la réponse donnée, et non pas à la seconde question
(même si c'est elle que je cite, fort maladroitement j'en conviens).

Mille excuses,
--
Gabriel Kerneis

[Anonyme]

Le 10 Apr 2005 21:13:43 GMT
Gabriel Kerneis vous écriviez :

> Juste une précision car mon précédent message n'était pas clair du
tout
> : je répondais à la première partie de la première question, qui avait
> été éludée dans la réponse donnée, et non pas à la seconde question
> (même si c'est elle que je cite, fort maladroitement j'en conviens).


Je m 'en étais apercue..
Aussi je tiens à vous remercier pour le temps passé à rechercher des
procédures de résolutions à mon problème. Et encore désolée d'avoir
"consumé " votre dimanche à vous tordre les neurones....


Merci

ps: les deux exercices,pêchés sur internet,provenaient d'un concours
d'iufm ( CRPE ) auquel je me prépare. Voilà voilà.

[Anonyme]

Le Sun, 10 Apr 2005 21:30:01 +0200
Paul Delannoy vous écriviez :

> Célia a écrit:[color=green]
> > Le Sun, 10 Apr 2005 14:11:35 +0200
> > Paul Delannoy vous écriviez :
> > :
> > [color=darkred]
> >>Ouh là ca se complique ! je comprends que l'on a écrit les numeros[/color][/color]
de [color=green][color=darkred]
> >>page en base 5 et que l'ensemble de ces numéros (1, 2, 3, 4,[/color][/color]
10,11,...) [color=green][color=darkred]
> >>ont 'consommé' 2959 caractères, c'est bien ça ?
> >
> >
> > oui, je le comprends aussi comme cela, mais ça m'avance pas trop.[/color][/color]

>
> Alors : commencons par compter les nbs qui ont 1 chiffre en base 5 : 4
> puis 2 chiffres : 20, trois chiffres : ...
> et essayons de comprendre comment, sachant qu'il y a un nb N(c) de
> nombres de c chiffres, on va calculer N(c+1) ? par ex : on prend un
> nombre de c chiffres, et on peut en écrire 5 qui ont c+1 chiffres en
> écrivant 0,1,2,3, ou 4 à la fin de son écriture : donc N(c+1) vaut
> ...*N(c) ; et on va donc connaitre le nb N(c) par récurrence. Le nb de

> chiffres 'consommés par cette tranche du livre est donc c*N(c). Un
petit
> tableau des valeurs c, N(c) c*N(c), somme des valeurs de la précedente

> montre que pour c=4 on a consommé 2344 signes. Le dernier n° de page a

> donc 5 chiffres et les numéros à 5 chiffres utilisés représentent
> 2959-2344 soit 615 chiffres, donc 615/5=123 pages.
> les pages précédentes sont au nombre de N(1)+N(2)+N(3)+N(4) soit 624,
le
> livre a donc 747 pages (en base 10). le numéro de la dernière page est

> ce nombre en base 5 (je trouve 10442).
> Le nombre de numéros de page terminés par un 0 (au moins) c'est le
> nombre de nombres divisibles par ?... je te laisse trouver.
> Bonne soirée.
>


merci beaucoup pour votre solution.

j'arrive presque à resoudre le probleme...
Tenace,j'y arriverai et vous tiendrai au courant.

ps: Ces exercices sont tirés d'un concours d'iufm. Exercices qui ne se
résolvent pas en 15 minutes sachant que la partie théorique ne doit pas
excéder 1h...

Merci encore pour vos explications.