Probabilités...max de la Variance

[Anonyme]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la dernière question de l'exo suivant...

X1, X2...Xn n v.a. indépendantes tq
P(Xk=1)=pk
P(Xk=0)=1-pk

et Y = X1+X2+...+Xn

1) Calculer E[Y] et V[Y].
Je trouve E[Y]=p1+p2+...+pn
et V[Y]=p1+p2+...+pn-(p1²+p2²+...+pn²)

=m-(p1²+p2²+...+pn²)


2) On fixe E[Y]=m.
Trouver p1, p2, ...pn pour maximiser V[Y]

Si m1

Pourriez vous m'aider?

Là je bloque...

Merci de votre aide.

LKH

[Anonyme]

"LKH" a écrit dans le message de news:
41b1925b$0$15834$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Je n'arrive pas à faire la dernière question de l'exo suivant...
>
> X1, X2...Xn n v.a. indépendantes tq
> P(Xk=1)=pk
> P(Xk=0)=1-pk
>
> et Y = X1+X2+...+Xn
>
> 1) Calculer E[Y] et V[Y].
> Je trouve E[Y]=p1+p2+...+pn
> et V[Y]=p1+p2+...+pn-(p1²+p2²+...+pn²)
>
> =m-(p1²+p2²+...+pn²)
>
>
> 2) On fixe E[Y]=m.
> Trouver p1, p2, ...pn pour maximiser V[Y]
>
> Si m
> Mais pas encore pour m=1et m>1
>
> Pourriez vous m'aider?
>
> Là je bloque...
>
> Merci de votre aide.
>
> LKH
>

Regardez avec n=2, vous conclurez ensuite que tous les pk doivent être égaux
à m/n.

Philippe

[Anonyme]

déjà m>=1 car 2*Somme (pi*pj){i= m^2/n avec égalité si pi=m/n pour tout i.
donc ton maximum de vraisemblance est m*(n-m)/n .

"LKH" a écrit dans le message de news:
41b1925b$0$15834$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Je n'arrive pas à faire la dernière question de l'exo suivant...
>
> X1, X2...Xn n v.a. indépendantes tq
> P(Xk=1)=pk
> P(Xk=0)=1-pk
>
> et Y = X1+X2+...+Xn
>
> 1) Calculer E[Y] et V[Y].
> Je trouve E[Y]=p1+p2+...+pn
> et V[Y]=p1+p2+...+pn-(p1²+p2²+...+pn²)
>
> =m-(p1²+p2²+...+pn²)
>
>
> 2) On fixe E[Y]=m.
> Trouver p1, p2, ...pn pour maximiser V[Y]
>
> Si m
> Mais pas encore pour m=1et m>1
>
> Pourriez vous m'aider?
>
> Là je bloque...
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> Merci de votre aide.
>
> LKH
>
>

[Anonyme]

"Siham Ziani" a écrit dans le message de
news:41b3167f$0$22193$626a14ce@news.free.fr...
> déjà m>=1 car 2*Somme (pi*pj){i après par la convexité de la foction carré , on a ([Somme pi ,i=1..n]/n)^2
> donc [Somme pi^2 ,i=1..n]>= m^2/n avec égalité si pi=m/n pour tout i.
> donc ton maximum de vraisemblance est m*(n-m)/n .



Bonjour,
Ok merci beaucoup pour la solution.

LKH

[Anonyme]

Bonjour

Partons de Var(Y) = sum(p_n, n=1..N) - sum(p_n^2, n=1..N), résultat déjà
connu.

Utilisons l'inégalité de Cauchy : sum(f_n^2, n=1..N)*sum(g_n^2, n=1..N) > =
(sum(f_n*g_n, n=1..N))^2, les f_n et g_n étant réels.

Pour g_n = = 1, on obtient : sum(f_n^2, n=1..N) > = (sum(f_n, n=1..N))^2/N,
soit pour nous : sum(p_n^2, n=1..N) > = (sum(p_n, n=1..N))^2/N = m^2/N.

D'où Var(Y) = m - sum(p_n^2, n=1..N) a écrit dans le message news:
41b1925b$0$15834$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Je n'arrive pas à faire la dernière question de l'exo suivant...
>
> X1, X2...Xn n v.a. indépendantes tq
> P(Xk=1)=pk
> P(Xk=0)=1-pk
>
> et Y = X1+X2+...+Xn
>
> 1) Calculer E[Y] et V[Y].
> Je trouve E[Y]=p1+p2+...+pn
> et V[Y]=p1+p2+...+pn-(p1²+p2²+...+pn²)
>
> =m-(p1²+p2²+...+pn²)
>
>
> 2) On fixe E[Y]=m.
> Trouver p1, p2, ...pn pour maximiser V[Y]
>
> Si m
> Mais pas encore pour m=1et m>1
>
> Pourriez vous m'aider?
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> Là je bloque...
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> Merci de votre aide.
>
> LKH
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