Voilà, j'ai 4 exercices de maths à réaliser pour des rattrapages.
Seulement, comme vous l'aurez deviné je suis légerment bloqué... pour ne pas dire complètement.
Je vous soumets le sujet :
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[B][U]Exercice 1 :[/U][/B]
Sur une autoroute il circule 10% de camions et 90% de voitures.
1- Déterminer lunivers .
2 - On se place au bord de lautoroute et on observe n véhicules. Quelle est la loi de la variable aléatoire donnant le nombre de camions observés ?
On note la variable aléatoire correspondant à la proportion de camions observés.
(Indication : peut sécrire comme une somme de variables aléatoires indépendantes)
3- Calculer lespérance et la variance .
4- Déterminer le nombre minimum de véhicules à observer pour que la proportion de camions soit située entre 8% et 12%, avec une probabilité supérieure à 96%.
a- En utilisant le théorème central limite.
b- En utilisant la loi faible des grands nombres.
5- Chaque jour 10000 véhicules circulent sur cette autoroute.
Peut-on approcher la loi de de la question 2 par la loi de poisson ? Si oui déterminé son paramètre.
[B][U]
Exercice 2:[/U][/B]
Pour contrôler la qualité dun lot de pièces, on en prélève un échantillon de taille
N = 5, et on constate que k = 3 pièces sont défectueuses.
On suppose que la population K obéit à une loi binomiale B( N , p )
1) Déterminer lexpression littérale de la fonction de vraisemblance L(k;p), et tracer son allure en fonction de p. En quel point le maximum est-il atteint ?
2) Exprimer lestimateur du maximum de vraisemblance du paramètre p. Cet estimateur est-il biaisé
[U][B]Exercice 3: [/B][/U]
Pour déterminer lâge moyen de ses clients, une grande entreprise de confection pour hommes prélève un échantillon aléatoire de 50 clients et trouve une moyenne de 36 ans et une variance s2 =144.
1- Déterminer un intervalle de confiance au risque de 5% de la moyenne dâge.
2-Supposer que pour le même risque derreur, on veuille réduire la longueur de
lintervalle de façon précise, à 2ans.
Quelle doit être alors la taille de léchantillon ?
3- Déterminer un intervalle de confiance au risque 5% pour lécart type.
[B][U]Exercice4 :[/U][/B]
Une variable aléatoire suit la loi normale N(0,s). Au vu dun échantillon indépendant (x1, x2, , xn) de la loi de X, on veut choisir entre les hypothèses
H0 : s = 1
H1 : s = 2
1- On veut déterminer le test à effectuer par la méthode de Neyman et Pearson
a- Déterminer les fonctions de vraisemblance L(x1, , xn, 0) et L(x1, , xn, 1).
En déduire le rapport de vraisemblance , et
c- Déterminer la région critique C =
2- Pour suivant la loi normale N(0, ) , on admet que suit la loi de c2 à n degrés de libertés.
a- Pour n = 20 et le niveau a = 2.5% , déterminer la constante
de la région critique
b- Déterminer la puissance du test 1-b . La puissance du test est-elle
maximale?
Bien entendu je ne vous demande pas de les faire à ma place, mais de me donner des pistes. Je devrais en plus de les rendre les expliquer durant une demie heure. J'espère donc pouvoir y comprendre quelque chose.
Je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
Alex.