Proba : relation fonctionnelle

[Anonyme]

Bonjour,

je dois résoudre le problème suivant, et je dois avouer que je suis un peu
paumer:

Une fonction f de variable réelle vérifie les relations suivantes pour tout
x et tout réels:
f(x+t) = f(x)f(t)
f(x) est toujours non nul
f est dérivable et f '(0) = k

1) Montrer que f(0) = 1
2) On pose gt(x) = f(x+t). En dérivant gt de deux façons différentes montrer
que: f '(t)=kf(t).
Déterminer alors l'expression de f.

d'avance merci, à ceux qui pourront m'aider

[Anonyme]

"Céline Lardière" a écrit dans le message de
news:3fbf6f86$0$28621$636a55ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> je dois résoudre le problème suivant, et je dois avouer que je suis un peu
> paumer:
>
> Une fonction f de variable réelle vérifie les relations suivantes pour
tout
> x et tout réels:
> f(x+t) = f(x)f(t)
> f(x) est toujours non nul
> f est dérivable et f '(0) = k
>
> 1) Montrer que f(0) = 1
> soit x=0 et t=0 alors f(0+0)=f(0)*f(0) cad f(0)=f(0)^2 ou encore f(0)=1 ou
f(0)=0
Supposons f(0)=0 tu reprends ta relation de depart avec x=0 et t quelconque
tu as alors pour tout t f(t)=0*f(t)=0 ce qui voudrait dire que ta fonction f
est la fonction nulle ce qui est à exclure puisque f est toujours non nulle
donc f(0)=1 cqfd


2) On pose gt(x) = f(x+t). En dérivant gt de deux façons différentes montrer
> que: f '(t)=kf(t).
en derivant gt(x)=f(x+t) et gt(x)=f(x)*f(t) tu arrives a deux expressions
distinctes de gt'(x) (attention tu derives en x, t est consideré comme un
paramètre) donc f '(x+t)=f(t)*f '(x) en prenant x=0 et comme f '(0)=k tu as
pour tout t f '(t)=k*f(t)
> Déterminer alors l'expression de f.
> l'equation différentielle est du premier ordre de solution du type
f(t)=Aexp(k*t) avec f(0)=1 A=1 et f(t)=exp(kt)
> d'avance merci, à ceux qui pourront m'aider
>
>

[Anonyme]

"Céline Lardière" a écrit :
> 1) Montrer que f(0) = 1

Demande toi comment introduire un "0" dans ta relation, et n'oublie pas
les hypothèses.

> 2) On pose gt(x) = f(x+t). En dérivant gt de deux façons différentes montrer
> que: f '(t)=kf(t).

La question me semble mal posée... il s'agit juste de dériver gt(x) et
d'évaluer en 0. Le "deux façons" se rapporte au fait qu'il y a deux
expression pour gt(x) (cf l'énoncé)

> Déterminer alors l'expression de f.

Résoudre l'equadiff.

--
Nico.