La propriété
k(u+v) = k.u +k.v
où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.
Quelqu'un saurait-il comment une telle chose se démontre ?
Merci par avance !
La preuve distributivité de la multuplication vecteur/réel p
12 messages
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Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
Le Thu, 19 Aug 2004 13:19:20 +0200, tanopah a écrit :
> La propriété
> k(u+v) = k.u +k.v
> où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.
> Quelqu'un saurait-il comment une telle chose se démontre ?
> Merci par avance !
Je sais pas si ça ce démontre, c'est l'une des propriétés des espaces
vectoriels dont la représentation graphique est utilisé en seconde pour
faire de la géométrie...
Malheuresement les espaces vectoriels eux sont au programme de prépa
alors il faut attendre un peu
Je pense que d'autres diront mieu que moi si cette proprieté est un
axiome ou non...
> La propriété
> k(u+v) = k.u +k.v
> où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.
> Quelqu'un saurait-il comment une telle chose se démontre ?
> Merci par avance !
Je sais pas si ça ce démontre, c'est l'une des propriétés des espaces
vectoriels dont la représentation graphique est utilisé en seconde pour
faire de la géométrie...
Malheuresement les espaces vectoriels eux sont au programme de prépa
alors il faut attendre un peu
Je pense que d'autres diront mieu que moi si cette proprieté est un
axiome ou non...
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
"Jeff" a écrit dans le message de news:
> Le Thu, 19 Aug 2004 13:19:20 +0200, tanopah a écrit :[color=green]
> > La propriété
> > k(u+v) = k.u +k.v
> > où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.[/color]
> Je pense que d'autres diront mieu que moi si cette proprieté est un
> axiome ou non..
Je pense aussi qu'il s'agit d'une propriété de construction d'espace
vectoriel..
Toute tentative de démonstration utilisera peu ou prou le fait qu'on est
dans un espace vectoriel et donc , se mordra la queue.
> Le Thu, 19 Aug 2004 13:19:20 +0200, tanopah a écrit :[color=green]
> > La propriété
> > k(u+v) = k.u +k.v
> > où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.[/color]
> Je pense que d'autres diront mieu que moi si cette proprieté est un
> axiome ou non..
Je pense aussi qu'il s'agit d'une propriété de construction d'espace
vectoriel..
Toute tentative de démonstration utilisera peu ou prou le fait qu'on est
dans un espace vectoriel et donc , se mordra la queue.
Re: La preuve distributivité de lamultuplication vecteur/rée
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
["Followup-To:" header set to fr.sci.maths.]
Jeff wrote in fr.sci.maths:[color=green]
>> La propriété
>> k(u+v) = k.u +k.v[/color]
> Je pense que d'autres diront mieu que moi si cette proprieté est un
> axiome ou non...
Oui, c'est un axiome de la définition des espaces vectoriels.
Sam
--
;;; Nobody except a qualified mail wizard should ever modify ;;;
;;; this file. You are -not- a mail wizard just because you ;;;
;;; know how to read your mail. Fuck with this file, and I'll ;;;
;;; cut your balls off. -Alan ;;;
Jeff wrote in fr.sci.maths:[color=green]
>> La propriété
>> k(u+v) = k.u +k.v[/color]
> Je pense que d'autres diront mieu que moi si cette proprieté est un
> axiome ou non...
Oui, c'est un axiome de la définition des espaces vectoriels.
Sam
--
;;; Nobody except a qualified mail wizard should ever modify ;;;
;;; this file. You are -not- a mail wizard just because you ;;;
;;; know how to read your mail. Fuck with this file, and I'll ;;;
;;; cut your balls off. -Alan ;;;
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
Osiris a écrit :
> Je pense aussi qu'il s'agit d'une propriété de construction d'espace
> vectoriel..
> Toute tentative de démonstration utilisera peu ou prou le fait qu'on est
> dans un espace vectoriel et donc , se mordra la queue.
Pas nécessairement, si tu pars du plan euclidien et construit les
vecteurs comme classe d'équivalence de bipoints, tu peux démontrer
cette relation.
Bien sûr il faut partir des axiomes de la géométrie classique, si
tu pars de la définition moderne d'un plan affine ça va se mordre
la queue.
> Je pense aussi qu'il s'agit d'une propriété de construction d'espace
> vectoriel..
> Toute tentative de démonstration utilisera peu ou prou le fait qu'on est
> dans un espace vectoriel et donc , se mordra la queue.
Pas nécessairement, si tu pars du plan euclidien et construit les
vecteurs comme classe d'équivalence de bipoints, tu peux démontrer
cette relation.
Bien sûr il faut partir des axiomes de la géométrie classique, si
tu pars de la définition moderne d'un plan affine ça va se mordre
la queue.
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
"YBM" a écrit dans le message de news:
> Osiris a écrit :[color=green]
> > Je pense aussi qu'il s'agit d'une propriété de construction d'espace
> > vectoriel..
> > Toute tentative de démonstration utilisera peu ou prou le fait qu'on est
> > dans un espace vectoriel et donc , se mordra la queue.
>
> Pas nécessairement, si tu pars du plan euclidien et construit les
> vecteurs comme classe d'équivalence de bipoints, tu peux démontrer
> cette relation.[/color]
Et ça serait quoi le "plan" euclidien ?
Après, il faudra définir l'adition sur ces classes d'équivalence ( ça ne me
semble pas évident tout ça..), après, il faudra définir la multipication
externe sur ces classes d'équivalence..
Après, il ne rstera plus qu'à montrer que la définition des vecteurs comme
classe d'équivalence de bipoints redonne les vecteurs tels qu'on les
connait..
enfin ,on fait ça comment sans espace vectoriel ?
> Osiris a écrit :[color=green]
> > Je pense aussi qu'il s'agit d'une propriété de construction d'espace
> > vectoriel..
> > Toute tentative de démonstration utilisera peu ou prou le fait qu'on est
> > dans un espace vectoriel et donc , se mordra la queue.
>
> Pas nécessairement, si tu pars du plan euclidien et construit les
> vecteurs comme classe d'équivalence de bipoints, tu peux démontrer
> cette relation.[/color]
Et ça serait quoi le "plan" euclidien ?
Après, il faudra définir l'adition sur ces classes d'équivalence ( ça ne me
semble pas évident tout ça..), après, il faudra définir la multipication
externe sur ces classes d'équivalence..
Après, il ne rstera plus qu'à montrer que la définition des vecteurs comme
classe d'équivalence de bipoints redonne les vecteurs tels qu'on les
connait..
enfin ,on fait ça comment sans espace vectoriel ?
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
C'est une des 8 relations (propriétés) qui définit un espace vectoriel (avec
u+v=v+u, 1v=v, etc...).
Si quelqu'un affirme que X muni de deux opérations + et . est un espace
vectoriel, il doit démontrer que les "vecteurs" satisfont aux 8 propriétés.
Si X = R^2, où (x,y) est la flèche qui unit l'origine au point (x,y) et
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) et k.(x,y)=(kx,ky), on peut démontrer que
k(u+v)=ku+kv soit
1- géométriquement, en bâtissant les deux vecteurs k(u+v) et ku+kv et en
constatant qu'ils sont les mêmes,
2- soit algébriquement en calculant explicitement k.((x1,y1)+(x2,y2)) et
k.(x1,y1) + k.(x2,y2) en faisant attention aux priorités des opérations et
en constatant que les deux résultats sont les mêmes. Du fait que "deux
quantités égales à une même troisième sont égales" (expression aussi connue
par le nom "transitivité de =") on en conclut que la propriété est vérifiée.
Bernard Massé
"tanopah" a écrit dans le message de
news:41248c52$0$18628$626a14ce@news.free.fr...
> La propriété
> k(u+v) = k.u +k.v
> où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.
> Quelqu'un saurait-il comment une telle chose se démontre ?
> Merci par avance !
>
>
u+v=v+u, 1v=v, etc...).
Si quelqu'un affirme que X muni de deux opérations + et . est un espace
vectoriel, il doit démontrer que les "vecteurs" satisfont aux 8 propriétés.
Si X = R^2, où (x,y) est la flèche qui unit l'origine au point (x,y) et
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) et k.(x,y)=(kx,ky), on peut démontrer que
k(u+v)=ku+kv soit
1- géométriquement, en bâtissant les deux vecteurs k(u+v) et ku+kv et en
constatant qu'ils sont les mêmes,
2- soit algébriquement en calculant explicitement k.((x1,y1)+(x2,y2)) et
k.(x1,y1) + k.(x2,y2) en faisant attention aux priorités des opérations et
en constatant que les deux résultats sont les mêmes. Du fait que "deux
quantités égales à une même troisième sont égales" (expression aussi connue
par le nom "transitivité de =") on en conclut que la propriété est vérifiée.
Bernard Massé
"tanopah" a écrit dans le message de
news:41248c52$0$18628$626a14ce@news.free.fr...
> La propriété
> k(u+v) = k.u +k.v
> où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.
> Quelqu'un saurait-il comment une telle chose se démontre ?
> Merci par avance !
>
>
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
Osiris wrote:
> Et ça serait quoi le "plan" euclidien ?
> Après, il faudra définir l'adition sur ces classes d'équivalence ( ça ne me
> semble pas évident tout ça..), après, il faudra définir la multipication
> externe sur ces classes d'équivalence..
> Après, il ne rstera plus qu'à montrer que la définition des vecteurs comme
> classe d'équivalence de bipoints redonne les vecteurs tels qu'on les
> connait..
>
> enfin ,on fait ça comment sans espace vectoriel ?
Ça se fait. Le plan euclidien, c'est la donnée d'un ensemble de points
et d'un ensemble de droites qui vérifie une série d'axiomes exposée par
exemple dans les _Grundlagen der Geometrie_ de Hilbert. On peut alors
appeler vecteur les classes d'équivalence de bipoints pour
l'équipollence, et la somme de (A,B) et de (A',B') est (A,C), où C est
l'unique point tel que (A',B')~(B,C). On définit ensuite de manière
évidente la multiplication scalaire par un entier, puis par un
rationnel. Pour les réels, on y arrive si l'on munit notre plan d'une
distance et qu'on raisonne par passage à la limite.
Évidemment, c'est un point de vue beaucoup plus déraisonnable encore en
classe de seconde que celui des espaces vectoriels.
L'autre solution, c'est de mettre un repère, et de raisonner avec des
coordonnées. Et alors là, la relation tombe toute seule. Bien sûr, ça
revient un peu à déplacer le problème d'admettre que les vecteurs
forment un espace vectoriel, mais la bijection est peut-être plus
visuelle.
--
M. Tibouchi
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.
> Et ça serait quoi le "plan" euclidien ?
> Après, il faudra définir l'adition sur ces classes d'équivalence ( ça ne me
> semble pas évident tout ça..), après, il faudra définir la multipication
> externe sur ces classes d'équivalence..
> Après, il ne rstera plus qu'à montrer que la définition des vecteurs comme
> classe d'équivalence de bipoints redonne les vecteurs tels qu'on les
> connait..
>
> enfin ,on fait ça comment sans espace vectoriel ?
Ça se fait. Le plan euclidien, c'est la donnée d'un ensemble de points
et d'un ensemble de droites qui vérifie une série d'axiomes exposée par
exemple dans les _Grundlagen der Geometrie_ de Hilbert. On peut alors
appeler vecteur les classes d'équivalence de bipoints pour
l'équipollence, et la somme de (A,B) et de (A',B') est (A,C), où C est
l'unique point tel que (A',B')~(B,C). On définit ensuite de manière
évidente la multiplication scalaire par un entier, puis par un
rationnel. Pour les réels, on y arrive si l'on munit notre plan d'une
distance et qu'on raisonne par passage à la limite.
Évidemment, c'est un point de vue beaucoup plus déraisonnable encore en
classe de seconde que celui des espaces vectoriels.
L'autre solution, c'est de mettre un repère, et de raisonner avec des
coordonnées. Et alors là, la relation tombe toute seule. Bien sûr, ça
revient un peu à déplacer le problème d'admettre que les vecteurs
forment un espace vectoriel, mais la bijection est peut-être plus
visuelle.
--
M. Tibouchi
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
Osiris wrote:
> Et ça serait quoi le "plan" euclidien ?
> Après, il faudra définir l'adition sur ces classes d'équivalence ( ça ne me
> semble pas évident tout ça..), après, il faudra définir la multipication
> externe sur ces classes d'équivalence..
> Après, il ne rstera plus qu'à montrer que la définition des vecteurs comme
> classe d'équivalence de bipoints redonne les vecteurs tels qu'on les
> connait..
>
> enfin ,on fait ça comment sans espace vectoriel ?
Ça se fait. Le plan euclidien, c'est la donnée d'un ensemble de points
et d'un ensemble de droites qui vérifie une série d'axiomes exposée par
exemple dans les _Grundlagen der Geometrie_ de Hilbert. On peut alors
appeler vecteur les classes d'équivalence de bipoints pour
l'équipollence, et la somme de (A,B) et de (A',B') est (A,C), où C est
l'unique point tel que (A',B')~(B,C). On définit ensuite de manière
évidente la multiplication scalaire par un entier, puis par un
rationnel. Pour les réels, on y arrive si l'on munit notre plan d'une
distance et qu'on raisonne par passage à la limite.
Évidemment, c'est un point de vue beaucoup plus déraisonnable encore en
classe de seconde que celui des espaces vectoriels.
L'autre solution, c'est de mettre un repère, et de raisonner avec des
coordonnées. Et alors là, la relation tombe toute seule. Bien sûr, ça
revient un peu à déplacer le problème d'admettre que les vecteurs
forment un espace vectoriel, mais la bijection est peut-être plus
visuelle.
--
M. Tibouchi
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.
> Et ça serait quoi le "plan" euclidien ?
> Après, il faudra définir l'adition sur ces classes d'équivalence ( ça ne me
> semble pas évident tout ça..), après, il faudra définir la multipication
> externe sur ces classes d'équivalence..
> Après, il ne rstera plus qu'à montrer que la définition des vecteurs comme
> classe d'équivalence de bipoints redonne les vecteurs tels qu'on les
> connait..
>
> enfin ,on fait ça comment sans espace vectoriel ?
Ça se fait. Le plan euclidien, c'est la donnée d'un ensemble de points
et d'un ensemble de droites qui vérifie une série d'axiomes exposée par
exemple dans les _Grundlagen der Geometrie_ de Hilbert. On peut alors
appeler vecteur les classes d'équivalence de bipoints pour
l'équipollence, et la somme de (A,B) et de (A',B') est (A,C), où C est
l'unique point tel que (A',B')~(B,C). On définit ensuite de manière
évidente la multiplication scalaire par un entier, puis par un
rationnel. Pour les réels, on y arrive si l'on munit notre plan d'une
distance et qu'on raisonne par passage à la limite.
Évidemment, c'est un point de vue beaucoup plus déraisonnable encore en
classe de seconde que celui des espaces vectoriels.
L'autre solution, c'est de mettre un repère, et de raisonner avec des
coordonnées. Et alors là, la relation tombe toute seule. Bien sûr, ça
revient un peu à déplacer le problème d'admettre que les vecteurs
forment un espace vectoriel, mais la bijection est peut-être plus
visuelle.
--
M. Tibouchi
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
"bernard massé" wrote in message news:...
> C'est une des 8 relations (propriétés) qui définit un espace vectoriel (avec
> u+v=v+u, 1v=v, etc...).
>
> Si quelqu'un affirme que X muni de deux opérations + et . est un espace
> vectoriel, il doit démontrer que les "vecteurs" satisfont aux 8 propriétés.
>
> Si X = R^2, où (x,y) est la flèche qui unit l'origine au point (x,y) et
> (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) et k.(x,y)=(kx,ky), on peut démontrer que
> k(u+v)=ku+kv soit
>
> 1- géométriquement, en bâtissant les deux vecteurs k(u+v) et ku+kv et en
> constatant qu'ils sont les mêmes,
>
Bon, j'ai envie de me defouler sur quelqu'un, alors ca va etre sur ce
message, mais c'est pareil pour les autres dans ce fil (sauf le
premier, bien sur
) Il disait : "admis en seconde", vous vous
rappelez? Alors on fait un jouli dessin , et on dit aux eleves (de
seconde) voila, vous reconnaissez (avec une nouvelle ecriture) >>>
[ta-dam} LE THEOREME DE THALES !!!
> 2- soit algébriquement en calculant explicitement k.((x1,y1)+(x2,y2)) et
> k.(x1,y1) + k.(x2,y2) en faisant attention aux priorités des opérations et
> en constatant que les deux résultats sont les mêmes. Du fait que "deux
> quantités égales à une même troisième sont égales" (expression aussi connue
> par le nom "transitivité de =") on en conclut que la propriété est vérifiée.
>
Mais les vecturs dont il s'agit ne sont pas les couples de R^2, mais
bien les classes d'equivalence de bipoints... (et on n'a pas encore
(et pour cause) parle de coordonnees a ce stade)
> Bernard Massé
>
>
> "tanopah" a écrit dans le message de
> news:41248c52$0$18628$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > La propriété
> > k(u+v) = k.u +k.v
> > où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.
> > Quelqu'un saurait-il comment une telle chose se démontre ?
> > Merci par avance !
> >
> >[/color]
> C'est une des 8 relations (propriétés) qui définit un espace vectoriel (avec
> u+v=v+u, 1v=v, etc...).
>
> Si quelqu'un affirme que X muni de deux opérations + et . est un espace
> vectoriel, il doit démontrer que les "vecteurs" satisfont aux 8 propriétés.
>
> Si X = R^2, où (x,y) est la flèche qui unit l'origine au point (x,y) et
> (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) et k.(x,y)=(kx,ky), on peut démontrer que
> k(u+v)=ku+kv soit
>
> 1- géométriquement, en bâtissant les deux vecteurs k(u+v) et ku+kv et en
> constatant qu'ils sont les mêmes,
>
Bon, j'ai envie de me defouler sur quelqu'un, alors ca va etre sur ce
message, mais c'est pareil pour les autres dans ce fil (sauf le
premier, bien sur
) Il disait : "admis en seconde", vous vousrappelez? Alors on fait un jouli dessin , et on dit aux eleves (de
seconde) voila, vous reconnaissez (avec une nouvelle ecriture) >>>
[ta-dam} LE THEOREME DE THALES !!!
> 2- soit algébriquement en calculant explicitement k.((x1,y1)+(x2,y2)) et
> k.(x1,y1) + k.(x2,y2) en faisant attention aux priorités des opérations et
> en constatant que les deux résultats sont les mêmes. Du fait que "deux
> quantités égales à une même troisième sont égales" (expression aussi connue
> par le nom "transitivité de =") on en conclut que la propriété est vérifiée.
>
Mais les vecturs dont il s'agit ne sont pas les couples de R^2, mais
bien les classes d'equivalence de bipoints... (et on n'a pas encore
(et pour cause) parle de coordonnees a ce stade)
> Bernard Massé
>
>
> "tanopah" a écrit dans le message de
> news:41248c52$0$18628$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > La propriété
> > k(u+v) = k.u +k.v
> > où k est un réel, u et v des vecteurs est admise en seconde.
> > Quelqu'un saurait-il comment une telle chose se démontre ?
> > Merci par avance !
> >
> >[/color]
Re: La preuve distributivité de la multiplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
On Thu, 19 Aug 2004 16:33:02 -0700, denis feldmann wrote:
> Bon, j'ai envie de me defouler sur quelqu'un, alors ca va etre sur ce
> message, mais c'est pareil pour les autres dans ce fil (sauf le
> premier, bien sur) Il disait : "admis en seconde", vous vous
> rappelez? Alors on fait un jouli dessin , et on dit aux eleves (de
> seconde) voila, vous reconnaissez (avec une nouvelle ecriture) >>>
> [ta-dam} LE THEOREME DE THALES !!!
Et la commutativité de l'addition se voit (!) dans un parallélogramme.
nicolas patrois : pts noir asocial
--
HYPOTHÈSE
M : Pourquoi les dinosaures ont disparu ? Un sucre géant s'est écrasé sur
la terre ! Alors les dinos ont tous remués la queue en même temps et ils
sont morts assomés... Voilà.
> Bon, j'ai envie de me defouler sur quelqu'un, alors ca va etre sur ce
> message, mais c'est pareil pour les autres dans ce fil (sauf le
> premier, bien sur
) Il disait : "admis en seconde", vous vous> rappelez? Alors on fait un jouli dessin , et on dit aux eleves (de
> seconde) voila, vous reconnaissez (avec une nouvelle ecriture) >>>
> [ta-dam} LE THEOREME DE THALES !!!
Et la commutativité de l'addition se voit (!) dans un parallélogramme.
nicolas patrois : pts noir asocial
--
HYPOTHÈSE
M : Pourquoi les dinosaures ont disparu ? Un sucre géant s'est écrasé sur
la terre ! Alors les dinos ont tous remués la queue en même temps et ils
sont morts assomés... Voilà.
Re: La preuve distributivité de la multuplication vecteur/ré
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:29
denis_feldmann.
> Bon, j'ai envie de me defouler sur quelqu'un, alors ca va etre sur ce
> message, mais c'est pareil pour les autres dans ce fil (sauf le
> premier, bien sur) Il disait : "admis en seconde", vous vous
> rappelez? Alors on fait un jouli dessin , et on dit aux eleves (de
> seconde) voila, vous reconnaissez (avec une nouvelle ecriture) >>>
> [ta-dam} LE THEOREME DE THALES !!
Tu viens de faire un bond gigantesque dans mon estime.
> Bon, j'ai envie de me defouler sur quelqu'un, alors ca va etre sur ce
> message, mais c'est pareil pour les autres dans ce fil (sauf le
> premier, bien sur
) Il disait : "admis en seconde", vous vous> rappelez? Alors on fait un jouli dessin , et on dit aux eleves (de
> seconde) voila, vous reconnaissez (avec une nouvelle ecriture) >>>
> [ta-dam} LE THEOREME DE THALES !!
Tu viens de faire un bond gigantesque dans mon estime.
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