Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
(x^2-1)^n.
Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
Puis d'exprimer Pn(0).
Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
Merci de votre aide.
[MATH SPE] Prb Derivabilité
9 messages
- Page 1 sur 1
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
"dav" a écrit dans le message de news:
41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
> (x^2-1)^n.
>
> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>
> Puis d'exprimer Pn(0).
> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
(x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
(-1)^kC(2m,k)x^(2k)
La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
{d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
= (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
(-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************
41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
> (x^2-1)^n.
>
> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>
> Puis d'exprimer Pn(0).
> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
(x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
(-1)^kC(2m,k)x^(2k)
La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
{d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
= (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
(-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
merci bien de m'avoir sortit de là.
J'aurais du y penser avant.
Question d'apres faut deriver (n+2) fois ((x^2-1)^n) de 2 facons differentes
et trouver une relation entre Pn, Pn' et Pn''.
J'ai deja derivé en utilisant Leibniz mais je voit pas trop comment faire
pour la deuxieme sans perdre la forme des polynomes Pn.
Si tu pouvait m'aider... (derniere demande pour ce probleme
"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>> (x^2-1)^n.
>>
>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>
>> Puis d'exprimer Pn(0).
>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>
> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>
> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>[/color]
J'aurais du y penser avant.
Question d'apres faut deriver (n+2) fois ((x^2-1)^n) de 2 facons differentes
et trouver une relation entre Pn, Pn' et Pn''.
J'ai deja derivé en utilisant Leibniz mais je voit pas trop comment faire
pour la deuxieme sans perdre la forme des polynomes Pn.
Si tu pouvait m'aider... (derniere demande pour ce probleme
"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>> (x^2-1)^n.
>>
>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>
>> Puis d'exprimer Pn(0).
>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>
> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>
> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>[/color]
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
un e deuxieme question.
Deriver par rapport a x l'égalité entre Pn(-x) et Pn(x) me donnerait
Pn'(-x)=(-1)^n*Pn'(x)
alors que deriver les formules initiales et retrouver une relation entre
Pn'(-x) et Pn'(x) me donne la relation que tu me donne :
Pn'(-x)=(-1)^n+1*Pn'(x)) ?
"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>> (x^2-1)^n.
>>
>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>
>> Puis d'exprimer Pn(0).
>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>
> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>
> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>[/color]
Deriver par rapport a x l'égalité entre Pn(-x) et Pn(x) me donnerait
Pn'(-x)=(-1)^n*Pn'(x)
alors que deriver les formules initiales et retrouver une relation entre
Pn'(-x) et Pn'(x) me donne la relation que tu me donne :
Pn'(-x)=(-1)^n+1*Pn'(x)) ?
"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>> (x^2-1)^n.
>>
>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>
>> Puis d'exprimer Pn(0).
>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>
> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>
> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>[/color]
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
PArdon erreur stupide. Oubli de sortir le (-1) provenant du Pn(-x). désolé
"dav" a écrit dans le message de news:
41e17944$0$31776$626a14ce@news.free.fr...
> un e deuxieme question.
> Deriver par rapport a x l'égalité entre Pn(-x) et Pn(x) me donnerait
> Pn'(-x)=(-1)^n*Pn'(x)
> alors que deriver les formules initiales et retrouver une relation entre
> Pn'(-x) et Pn'(x) me donne la relation que tu me donne :
> Pn'(-x)=(-1)^n+1*Pn'(x)) ?
>
>
> "Masterbech" a écrit dans le message de news:
> 41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>>
>>
>> "dav" a écrit dans le message de news:
>> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=darkred]
>>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>>> (x^2-1)^n.
>>>
>>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>>
>>> Puis d'exprimer Pn(0).
>>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>>
>> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
>> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
>> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
>> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
>> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
>> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
>> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>>
>> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
>> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>>
>>
>> ********************
>> http://www.mathematiques.fr.st
>> *******************
>>
>>[/color]
>
>[/color]
"dav" a écrit dans le message de news:
41e17944$0$31776$626a14ce@news.free.fr...
> un e deuxieme question.
> Deriver par rapport a x l'égalité entre Pn(-x) et Pn(x) me donnerait
> Pn'(-x)=(-1)^n*Pn'(x)
> alors que deriver les formules initiales et retrouver une relation entre
> Pn'(-x) et Pn'(x) me donne la relation que tu me donne :
> Pn'(-x)=(-1)^n+1*Pn'(x)) ?
>
>
> "Masterbech" a écrit dans le message de news:
> 41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>>
>>
>> "dav" a écrit dans le message de news:
>> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=darkred]
>>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>>> (x^2-1)^n.
>>>
>>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>>
>>> Puis d'exprimer Pn(0).
>>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>>
>> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
>> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
>> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
>> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
>> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
>> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
>> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>>
>> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
>> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>>
>>
>> ********************
>> http://www.mathematiques.fr.st
>> *******************
>>
>>[/color]
>
>[/color]
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
De plus, ai-je le droit de deriver la formule du binome que j ai obtenu pour
n pair et dont pour une puissance pair de (x^2-1) ? car ca ne revient pas
exactement au polynome Pn'(x) avec n impair non ?
"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>> (x^2-1)^n.
>>
>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>
>> Puis d'exprimer Pn(0).
>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>
> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>
> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>[/color]
n pair et dont pour une puissance pair de (x^2-1) ? car ca ne revient pas
exactement au polynome Pn'(x) avec n impair non ?
"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>> (x^2-1)^n.
>>
>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>
>> Puis d'exprimer Pn(0).
>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>
> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>
> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>[/color]
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
c bon faut refaire leibniz en derivant une fois l interieur de la parenthese
"dav" a écrit dans le message de news:
41e179ee$0$31805$626a14ce@news.free.fr...
> PArdon erreur stupide. Oubli de sortir le (-1) provenant du Pn(-x). désolé
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e17944$0$31776$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> un e deuxieme question.
>> Deriver par rapport a x l'égalité entre Pn(-x) et Pn(x) me donnerait
>> Pn'(-x)=(-1)^n*Pn'(x)
>> alors que deriver les formules initiales et retrouver une relation entre
>> Pn'(-x) et Pn'(x) me donne la relation que tu me donne :
>> Pn'(-x)=(-1)^n+1*Pn'(x)) ?
>>
>>
>> "Masterbech" a écrit dans le message de news:
>> 41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=darkred]
>>>
>>>
>>> "dav" a écrit dans le message de news:
>>> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...
>>>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>>>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>>>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>>>> (x^2-1)^n.
>>>>
>>>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>>>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>>>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>>>
>>>> Puis d'exprimer Pn(0).
>>>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>>>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>>>
>>> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
>>> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
>>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
>>> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
>>> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
>>> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
>>> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
>>> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>>>
>>> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
>>> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
>>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>>>
>>>
>>> ********************
>>> http://www.mathematiques.fr.st
>>> *******************
>>>
>>>
>>
>>[/color]
>
>[/color]
"dav" a écrit dans le message de news:
41e179ee$0$31805$626a14ce@news.free.fr...
> PArdon erreur stupide. Oubli de sortir le (-1) provenant du Pn(-x). désolé
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e17944$0$31776$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> un e deuxieme question.
>> Deriver par rapport a x l'égalité entre Pn(-x) et Pn(x) me donnerait
>> Pn'(-x)=(-1)^n*Pn'(x)
>> alors que deriver les formules initiales et retrouver une relation entre
>> Pn'(-x) et Pn'(x) me donne la relation que tu me donne :
>> Pn'(-x)=(-1)^n+1*Pn'(x)) ?
>>
>>
>> "Masterbech" a écrit dans le message de news:
>> 41e1356a$0$6409$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=darkred]
>>>
>>>
>>> "dav" a écrit dans le message de news:
>>> 41e119fa$0$31550$626a14ce@news.free.fr...
>>>> Bonjour à tous. Je bloque actuellement au début de mon Dm.
>>>> On definit le polynome P[n](x)=(1/2^n*n!)*(d^n((x^2-1)^n)/dx^n)
>>>> Le deuxieme facteur est une dérivé nieme en fonction de x du polynome
>>>> (x^2-1)^n.
>>>>
>>>> Ils nous demandent au debut de calculer P0,P1 jusqu a P3. (pas de prb)
>>>> Puis d'exprimer Pn(-x) en fction de Pn(x).
>>>> J'ai trouvé Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x).
>>>>
>>>> Puis d'exprimer Pn(0).
>>>> Pour n impair jeme sert de la formule d'au dessus qui donne Pn(0)=0.
>>>> Mais pour n pair... difficile. De meme pour calculer Pn'(0).
>>>
>>> Si n est pair, n=2m et l'on a par le binôme
>>> (x^2-1)^(2m)=sum(k=0 à 2m, (-1)^(2m-k)C(2m,k)x^(2k) = sum(k=0 à 2m,
>>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k)
>>> La dérivée 2m-ième de polynôme en 0 est le coefficient de degré 2m de ce
>>> polynôme pondéré par 1/n! (Taylor) donc on a
>>> {d^(2m)/dx^(2m)[(x^2-1)^(2m] en x=0 }/(2m)!
>>> = (-1)^m*C(2m,m) (prendre le terme de degré 2m donc faire k=m)
>>> Ainsi, P_(2m)(0)=(-1)^m*C(2m,m)/[2^(2m)*(2m)!]=(-1)^m/{2^(2m)*(m!)^2}
>>>
>>> Pour P'n(0) procéder de même . Pour n pair, Pn'(0)=0 en dérivant
>>> Pn(-x)=(-1)^n*Pn(x) et pour n impair, dériver sum(k=0 à 2m,
>>> (-1)^kC(2m,k)x^(2k) et sélectionner le coefficient associé à x^(2m-1)
>>>
>>>
>>> ********************
>>> http://www.mathematiques.fr.st
>>> *******************
>>>
>>>
>>
>>[/color]
>
>[/color]
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
"dav" a écrit dans le message de news:
41e176c6$0$31772$626a14ce@news.free.fr...
> merci bien de m'avoir sortit de là.
> J'aurais du y penser avant.
> Question d'apres faut deriver (n+2) fois ((x^2-1)^n) de 2 facons
differentes
> et trouver une relation entre Pn, Pn' et Pn''.
> J'ai deja derivé en utilisant Leibniz mais je voit pas trop comment faire
> pour la deuxieme sans perdre la forme des polynomes Pn.
> Si tu pouvait m'aider... (derniere demande pour ce probleme
On pose Qn(x)=(x^2-1)^n et Pn(x)=d^n/dx^n(x^2-1)
Tu commences par remarquer que d/dx(Qn(x)=2n*x*Q_(n-1)(x)
en multipliant par (x^2-1), on a (x^2-1)d/dx(Qn(x)) = 2n*x*Qn(x)
Tu dérives alors (n+1) fois
(x^2-1)d^(n+2)/dx^(n+2)Qn(x)+2(n+1)*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) +
(n+1)nd^n/dx^nQn(x) = 2n*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) + 2(n+1)n*d^n/dx^nQn(x)
donc (x^2-1)*Q"n(x) + 2(n+1)*x*Q'n(x)+(n+1)nQn(x)=2n*xQ'n(x)+2(n+1)n*Qn(x)
(x^2-1)P"n(x)+2n*x*P'n(x) -n(n+1)*Pn(x)=0
On peut également voir les polynômes de Legendre comme étant les fonctions
propres de l'opérateur symétrique
P-->(1-x^2)P"-2xP'(x) sur Rn[X] muni du produit scalaire =int(t=0 à 1,
P(t)Q(t)dt
cf. http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/spe/pdf/exo_spe.pdf exo
7.11 page 18
********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************
41e176c6$0$31772$626a14ce@news.free.fr...
> merci bien de m'avoir sortit de là.
> J'aurais du y penser avant.
> Question d'apres faut deriver (n+2) fois ((x^2-1)^n) de 2 facons
differentes
> et trouver une relation entre Pn, Pn' et Pn''.
> J'ai deja derivé en utilisant Leibniz mais je voit pas trop comment faire
> pour la deuxieme sans perdre la forme des polynomes Pn.
> Si tu pouvait m'aider... (derniere demande pour ce probleme
On pose Qn(x)=(x^2-1)^n et Pn(x)=d^n/dx^n(x^2-1)
Tu commences par remarquer que d/dx(Qn(x)=2n*x*Q_(n-1)(x)
en multipliant par (x^2-1), on a (x^2-1)d/dx(Qn(x)) = 2n*x*Qn(x)
Tu dérives alors (n+1) fois
(x^2-1)d^(n+2)/dx^(n+2)Qn(x)+2(n+1)*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) +
(n+1)nd^n/dx^nQn(x) = 2n*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) + 2(n+1)n*d^n/dx^nQn(x)
donc (x^2-1)*Q"n(x) + 2(n+1)*x*Q'n(x)+(n+1)nQn(x)=2n*xQ'n(x)+2(n+1)n*Qn(x)
(x^2-1)P"n(x)+2n*x*P'n(x) -n(n+1)*Pn(x)=0
On peut également voir les polynômes de Legendre comme étant les fonctions
propres de l'opérateur symétrique
P-->(1-x^2)P"-2xP'(x) sur Rn[X] muni du produit scalaire =int(t=0 à 1,
P(t)Q(t)dt
cf. http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/spe/pdf/exo_spe.pdf exo
7.11 page 18
********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************
Re: [MATH SPE] Prb Derivabilité
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:10
Merci de ta réponse.
Interessant ta méthode qu ipermet de trouver l'égalité avec un seul calcul
alors que l'énoncé en proposait ici 2.
La deuxieme méthode est bien poussé (je la retiendrai), encore faut il
déterminer une valeur propre (ici qui vaudra -n*(n+1)).
au fait : génial ton site. Surtout les pages de révisions, tres bien fait.
"masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1938f$0$7896$626a14ce@news.free.fr...
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e176c6$0$31772$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> merci bien de m'avoir sortit de là.
>> J'aurais du y penser avant.
>> Question d'apres faut deriver (n+2) fois ((x^2-1)^n) de 2 facons
> differentes
>> et trouver une relation entre Pn, Pn' et Pn''.
>> J'ai deja derivé en utilisant Leibniz mais je voit pas trop comment faire
>> pour la deuxieme sans perdre la forme des polynomes Pn.
>> Si tu pouvait m'aider... (derniere demande pour ce probleme
>
> On pose Qn(x)=(x^2-1)^n et Pn(x)=d^n/dx^n(x^2-1)
>
> Tu commences par remarquer que d/dx(Qn(x)=2n*x*Q_(n-1)(x)
> en multipliant par (x^2-1), on a (x^2-1)d/dx(Qn(x)) = 2n*x*Qn(x)
>
> Tu dérives alors (n+1) fois
>
> (x^2-1)d^(n+2)/dx^(n+2)Qn(x)+2(n+1)*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) +
> (n+1)nd^n/dx^nQn(x) = 2n*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) + 2(n+1)n*d^n/dx^nQn(x)
>
> donc (x^2-1)*Q"n(x) + 2(n+1)*x*Q'n(x)+(n+1)nQn(x)=2n*xQ'n(x)+2(n+1)n*Qn(x)
> (x^2-1)P"n(x)+2n*x*P'n(x) -n(n+1)*Pn(x)=0
>
> On peut également voir les polynômes de Legendre comme étant les fonctions
> propres de l'opérateur symétrique
> P-->(1-x^2)P"-2xP'(x) sur Rn[X] muni du produit scalaire =int(t=0 à
> 1,
> P(t)Q(t)dt
> cf. http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/spe/pdf/exo_spe.pdf exo
> 7.11 page 18
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>
>
>[/color]
Interessant ta méthode qu ipermet de trouver l'égalité avec un seul calcul
alors que l'énoncé en proposait ici 2.
La deuxieme méthode est bien poussé (je la retiendrai), encore faut il
déterminer une valeur propre (ici qui vaudra -n*(n+1)).
au fait : génial ton site. Surtout les pages de révisions, tres bien fait.
"masterbech" a écrit dans le message de news:
41e1938f$0$7896$626a14ce@news.free.fr...
> "dav" a écrit dans le message de news:
> 41e176c6$0$31772$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> merci bien de m'avoir sortit de là.
>> J'aurais du y penser avant.
>> Question d'apres faut deriver (n+2) fois ((x^2-1)^n) de 2 facons
> differentes
>> et trouver une relation entre Pn, Pn' et Pn''.
>> J'ai deja derivé en utilisant Leibniz mais je voit pas trop comment faire
>> pour la deuxieme sans perdre la forme des polynomes Pn.
>> Si tu pouvait m'aider... (derniere demande pour ce probleme
>
> On pose Qn(x)=(x^2-1)^n et Pn(x)=d^n/dx^n(x^2-1)
>
> Tu commences par remarquer que d/dx(Qn(x)=2n*x*Q_(n-1)(x)
> en multipliant par (x^2-1), on a (x^2-1)d/dx(Qn(x)) = 2n*x*Qn(x)
>
> Tu dérives alors (n+1) fois
>
> (x^2-1)d^(n+2)/dx^(n+2)Qn(x)+2(n+1)*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) +
> (n+1)nd^n/dx^nQn(x) = 2n*x*d^(n+1)/dx^(n+1)Qn(x) + 2(n+1)n*d^n/dx^nQn(x)
>
> donc (x^2-1)*Q"n(x) + 2(n+1)*x*Q'n(x)+(n+1)nQn(x)=2n*xQ'n(x)+2(n+1)n*Qn(x)
> (x^2-1)P"n(x)+2n*x*P'n(x) -n(n+1)*Pn(x)=0
>
> On peut également voir les polynômes de Legendre comme étant les fonctions
> propres de l'opérateur symétrique
> P-->(1-x^2)P"-2xP'(x) sur Rn[X] muni du produit scalaire =int(t=0 à
> 1,
> P(t)Q(t)dt
> cf. http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/spe/pdf/exo_spe.pdf exo
> 7.11 page 18
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>
>
>[/color]
9 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 8 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :