Pouvez vous me corriger et m'aider à la derniere question me

[Anonyme]

Sujet:
Parmi tous e srectangles d'aire 100 cm² on se propose de determiner celui
dont le perimetre ( donc le demi perimetre) est minimal.
a/ prouver que si x est une des deux dimensions ( en cm) d'un rectangle
d'aire 100 cm² alors le demi-perimetre en cm est px)= x+ (100/x)

Demonstration : Le calcul de l'aire du rectangle est l*L;
x*L=100cm². L'un des cotés est fonction de l'autre par l'application de
L=100/x. Le calcul du périmetre est 2*(l+L); 2(x+L), le demi preimetre est
donc x+L.
En tenat compte que L=100/x, le demi perimetre est égal à x+(100/x) donc si
x est une des 2 doimensions en cm d'un rectangle d'aire 100cm² alors le demi
perimetre est p(x)=x+(100/x)

b/ dresser le tableau de svaleurs ( pas de soucis)

c/ dans un plan rapporté à une reprer orthonormal (o,i,j) placer le spoints
trouvés au b/ ( pas de soucis)

En déduire le représentation graphique de la fonction p qui à tout nombre
réel x tel que 2=20. Quelle est la solution de l'équation p(x)=20 ?
Quelle propriété vient on de démontrer?

démonstartion: Si p(x)=x+(100/x) et que l'on recherche la valeur d
p(x)-20, alors p(x)-20=x+(100/x)-20.
P(x-20)=(x-10)²/x
donc p(x)-20 est bien égal à (x-10)²/x.
2=20 p(x) étant un nombre au carré, ce nombre sera toujurs
positif ou nul donc p(x)-20>=0 alors p(x)>=20.
p(x)=20
x+(100/x)=20 donc (x²+100)/x=20 donc x²-20x+100=0, on reconnait une identité
remarquable ce qui permet d'écrire (x-10)²=0.
Quelle st la propriété que l'on vient de démontrer? JE NE VOIS PAS.

Merci de votre aide et de vos conseils.

[Anonyme]

> Sujet:
> Parmi tous e srectangles d'aire 100 cm² on se propose de determiner celui
> dont le perimetre ( donc le demi perimetre) est minimal.
> a/ prouver que si x est une des deux dimensions ( en cm) d'un rectangle
> d'aire 100 cm² alors le demi-perimetre en cm est px)= x+ (100/x)
>
> Demonstration : Le calcul de l'aire du rectangle est l*L;
> x*L=100cm². L'un des cotés est fonction de l'autre par l'application de
> L=100/x. Le calcul du périmetre est 2*(l+L); 2(x+L), le demi preimetre est
> donc x+L.
> En tenat compte que L=100/x, le demi perimetre est égal à x+(100/x) donc
si
> x est une des 2 doimensions en cm d'un rectangle d'aire 100cm² alors le
demi
> perimetre est p(x)=x+(100/x)

Le raisonnement est juste, mais quel bla-bla ! Dites plutôt :

soit x la largeur et L la longeur du rectangle, soit A(x) son aire et P(x)
son périmètre.
on a alors A = x*L = 100. Donc L = 100 / x.
Donc P = 2*p(x) = 2*(x+L) = 2*(x+x/100).
Conclusion : p(x) = x+x/100.

> b/ dresser le tableau de svaleurs ( pas de soucis)

Mais les valeurs de quoi ? Elle est bien curieuse cette question... Un
tableau de variations, pourquoi pas, mais un tableau de valeurs ?

> c/ dans un plan rapporté à une reprer orthonormal (o,i,j) placer le
spoints
> trouvés au b/ ( pas de soucis)

Si vous le dites

> En déduire le représentation graphique de la fonction p qui à tout nombre
> réel x tel que 2 au tableau de la question b/ par une courbe régulière.
> souci : il me semble qu'il suffit de faire la courbe et de relier
> les points. Mais ai je raison ?

Oui. Mais encore une fois, cette question me semble louche.

> d/ Sur quel ensemble de nombres la fonction p est décroissante ?
Croissante?
> Pour quelle valeur de x, la fonction admet elle un minimum ?que vaut ce
> minimum ?
>
> demonstration ::de [2-10] la fct est decroissante et de ]10 à 50]
la
> fonction est croissante.

!! Ce n'est pas une démonstration ! Soit vous étudiez le signe de la dérivée
(en supposant que vous avez étudié les dérivées), ou alors vous tâchez de
montrer que sur tel segment, si x1 p(x2) donc la fonction
est décroissante, et inversement sur tel autre segment... ou alors, si vous
croyez qu'une lecture graphique suffit à votre prof, alors très bien, mais
n'appelez pas ça une démonstration !

> La fonction admet un minimum pour une valeur de x=10. Ce minimum vaut 20.

Ca d'accord

> e/Démontrer que p(x)-20=(x-10)²/x. En déduire que pour tout nombre réel x
> tel que 2=20. Quelle est la solution de l'équation p(x)=20 ?
> Quelle propriété vient on de démontrer?
>
> démonstartion: Si p(x)=x+(100/x) et que l'on recherche la valeur d
> p(x)-20, alors p(x)-20=x+(100/x)-20.
> P(x-20)=(x-10)²/x
> donc p(x)-20 est bien égal à (x-10)²/x.

Là encore, c'est juste, mais pq tant de discours ? Dites simplement :

On a : p(x) - 20 = x + 100/x -20 = (x^2 + 100 - 20x)/x en réduisant au même
dénominateur. On reconnaît au numérateur le développement de (x-10)^2
Donc p(x)-20=(x-10)^2/100


> 2=20 p(x) étant un nombre au carré, ce nombre sera toujurs
> positif ou nul donc p(x)-20>=0 alors p(x)>=20.
> p(x)=20

Ici : pour x dans [2, 50] on a : p(x) - 20= ((x-10)/10)^2. Les carrés étant
positifs, on a p(x)-20>= 0 donc p(x) >= 20

> x+(100/x)=20 donc (x²+100)/x=20 donc x²-20x+100=0, on reconnait une
identité
> remarquable ce qui permet d'écrire (x-10)²=0.
> Quelle st la propriété que l'on vient de démontrer? JE NE VOIS PAS.

On résout p(x) = 20 : x+100/x = 20 x^2+100 = 20x (x-10)^2 = 0
x=10

Que vient-on de démontrer ? On a vu que, pour tout x dans l'intervalle [2 ;
50], p(x) est supérieur à 20, qui est donc le demi-périmètre minimal d'un
rectangle d'aire 100. Or, en résolvant p(x) = 20, on a vu que ce minimum est
atteint pour x = 10, et d'après la première question, on saît que si x = 10,
alors L = 100/10 = 10. C'est à dire que le rectangle d'aire 100 ayant le
périmètre minimal n'est autre que le carré de côté 10.