[1°S] Polynôme

[Anonyme]

Soit P un polynôme défini par P(x) = (1/3)x^3 -(1/2)x² +(1/6)x
On sait que P(x-1) - P(x) = x²

Montrer que 1²+2²+....+n² = P(n+1)

Merci d'avance pour votre aide

[Anonyme]

> Soit P un polynôme défini par P(x) = (1/3)x^3 -(1/2)x² +(1/6)x
> On sait que P(x-1) - P(x) = x²
>
> Montrer que 1²+2²+....+n² = P(n+1)

par rec sur n :
on voit 1=P(2)

si 1^2+..+n^2=P(n+1)
alors etc ....

et on arrive a montrer 1^2+...+(n+1)^2=P(n+2)

la récurrence est établie

[Anonyme]

Am 11/10/03 18:44, sagte RG (romain-guidez@ifrance.com) :

>
> Soit P un polynôme défini par P(x) = (1/3)x^3 -(1/2)x² +(1/6)x
> On sait que P(x-1) - P(x) = x²
plutot : P(x+1) - P(x) = x^2

> Montrer que 1²+2²+....+n² = P(n+1)
>
> Merci d'avance pour votre aide
>
>
tu as donc :
P(2) - P(1) = 1^2
P(3) - P(2) = 2^2
P(4) - P(3) = 3^2
....
P(n) + P(n-1) = (n-1)^2
P(n+1) - P(n) = n^2

après, par "addition en cascade" (tu ajoutes tout membre à membre), tu vois
bien qu'il ne reste plus au final à gauche que : P(n+1) - P(1)
et de l'autre coté (à doite) tu as bien la somme des carrés de 1 à n
comme P(1) = 0, tu as au final P(n+1) = 1^2 + 2^2 ... + n^2


albert

--

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[Anonyme]

Am 11/10/03 19:03, sagte un taupin (t@t.tt) :
[color=green]
>> Soit P un polynôme défini par P(x) = (1/3)x^3 -(1/2)x² +(1/6)x
>> On sait que P(x-1) - P(x) = x²
>>
>> Montrer que 1²+2²+....+n² = P(n+1)
>
> par rec sur n :
> on voit 1=P(2)
>
> si 1^2+..+n^2=P(n+1)
> alors etc ....
>
> et on arrive a montrer 1^2+...+(n+1)^2=P(n+2)
>
> la récurrence est établie
>[/color]
cette solution est plus élégante, mais le raisonnement par récurrence n'est
pas vraiment au programme de 1èreS


albert

--

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[Anonyme]

RG écrivait :

> On sait que P(x-1) - P(x) = x²
> Montrer que 1²+2²+....+n² = P(n+1)

n² = P(n-1) - P(n)
(n-1)² = P(n-2) - P(n-1)
(n-2)² = P(n-3) - P(n-2)

etc...

2² = P(1) - P(2)
1² = P(0) - P(1)

Tu sommes tout ça un tas de termes s'en vont.

PS : Vérifie ta formule.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Am 11/10/03 19:06, sagte Michel (overdose@alussinan.org) :

> n² = P(n-1) - P(n)
> (n-1)² = P(n-2) - P(n-1)
> (n-2)² = P(n-3) - P(n-2)
>
> etc...
>
> 2² = P(1) - P(2)
> 1² = P(0) - P(1)
>
> Tu sommes tout ça un tas de termes s'en vont.
>
> PS : Vérifie ta formule.

oui cf mon post : c'est P(x+1) - P(x) = x^2



albert

--

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[Anonyme]

Excusez moi je me suis trompé
Ce n'est pas P(x-1) - P(x) = x² mais c'est P(x+1) - P(x) = x²


> Soit P un polynôme défini par P(x) = (1/3)x^3 -(1/2)x² +(1/6)x
> On sait que P(x-1) - P(x) = x²
>
> Montrer que 1²+2²+....+n² = P(n+1)
>
> Merci d'avance pour votre aide
>
>

[Anonyme]

Am 11/10/03 19:26, sagte RG (romain-guidez@ifrance.com) :

> Excusez moi je me suis trompé
> Ce n'est pas P(x-1) - P(x) = x² mais c'est P(x+1) - P(x) = x²

>
oui on s'en est rendu compte

regarde aussi ca pendant que tu as là :
http://www.giromini.org/usenet-fr/repondre.html
merci !


albert

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