Polynome interpolateur de lagrange

[Anonyme]

Bonjour

Le polynome interpolateur de lagrange permet t-il de connaitre un polynome
en tout point de l'espace sur lequel il est défini ou permet t-il seulement
de connaitre un polynome en un nombre fini de points?

[Anonyme]

Le Sat, 22 Nov 2003 19:41:04 +0100,
Letitia grava à la saucisse et au marteau:

> Le polynome interpolateur de lagrange permet t-il de connaitre un polynome
> en tout point de l'espace sur lequel il est défini ou permet t-il seulement
> de connaitre un polynome en un nombre fini de points?

Le polynôme interpolateur de Lagrange est le seul polynôme de degré n
qui passe par n+1 points du plan (d'abscisses différentes). On en
connaît une formule explicite et on peut donc calculer sa valeur sur R.

D'ailleurs, il existe des variantes en dimension p > 1 ou pas?

--
Nicolas

[Anonyme]

> Le polynôme interpolateur de Lagrange est le seul polynôme de degré n
> qui passe par n+1 points du plan (d'abscisses différentes). On en
> connaît une formule explicite et on peut donc calculer sa valeur sur R.

Pourquoi est-il le seul?

[Anonyme]

"Letitia" a écrit dans le message de news:
3fbff2de$0$27030$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Le polynôme interpolateur de Lagrange est le seul polynôme de degré n
> > qui passe par n+1 points du plan (d'abscisses différentes). On en
> > connaît une formule explicite et on peut donc calculer sa valeur sur R.
>
> Pourquoi est-il le seul?
>
>[/color]
Parce que s'il y en a deux qui conviennent, P et Q, alors le polynôme P-Q
s'anulle en au moins n+1 points et est de degré inférieur ou égal à n, donc
P-Q est nul


NB : la réponse de Nicolas Le Roux est incorrecte, il aurait fallu dire :
"le seul polynôme de degré INFERIEUR OU EGAL à n qui passe par n+1
points..."

[Anonyme]

Le Sun, 23 Nov 2003 00:41:35 +0100,
FDH grava à la saucisse et au marteau:

> NB : la réponse de Nicolas Le Roux est incorrecte, il aurait fallu dire :
> "le seul polynôme de degré INFERIEUR OU EGAL à n qui passe par n+1
> points..."

Toutafé, je suis un gros vilain.

--
Nicolas

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51263), a
écrit :
> D'ailleurs, il existe des variantes en dimension p > 1 ou pas?

Euh, oui, sans doute.
Enfin, le même théorème reste vrai... enfin si on se donne un nombre
fini de valeurs alors on peut trouver un polynôme qui interpole...
Maintenant, je ne sais pas si c'est la généralisation naturelle ; ça
me paraîtrait en fait peut-être mieux d'essayer d'imposer une condition
sur des sous-variétés algébriques de codimension 1, mais alors, si je
ne me plante pas, ça impose de considérer des fractions rationnelles.

[Anonyme]

> D'ailleurs, il existe des variantes en dimension p > 1 ou pas?

Oui, bien sûr

En dimension 2 par exemple voici ce que ça donne

étant donnés (n+1)(p+1) points (xi,yi,zi) de l'espace, avec (xi,yi)(xj,yj)
si ij, il existe une unique fonction polynômiale f(x,y), de degré en x
inférieur ou égal à n, de degré en y inférieur ou égal à p, telle que pour
tout i, f(xi,yi)=zi