Poisson et Wallis

[Anonyme]

1) L'integrale de Poisson :

I(x) = int(ln(1-2*x*cos(theta)+x^2),theta=0..Pi)

se calcule a l'aide des sommes de Riemann ou par calcul de I(-x), I(x^2)
et I(1/x) avec un argument de bornitude au voisinage de zero, et je crois
aussi par les series entieres ou par derivation sous le signe somme. Les
methodes ne manquent pas.

Ma question concerne l'utilite de cette integrale. Je sais que le resultat
fait furieusement penser au calcul d'une circulation dans un champ
electrique, mais je ne me souviens plus dans quelle situation. Avez-vous
des details ?

2) Intégrales de Wallis

Eh oui ! Une fois de plus ! Savez-vous les calculer avec des sommes de
Riemann ?

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

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[Anonyme]

>
> 2) Intégrales de Wallis
>
> Eh oui ! Une fois de plus ! Savez-vous les calculer avec des sommes de
> Riemann ?

Avec Riemann, je ne vois pas trop mais avec le binôme de Newton, on peut
effectuer simplement le calcul

I(n)=int(t=0 à pi/2, (sin t)^ndt)=(1/2)int(t=-pi/2 à pi/2, (sin t)^n dt
Par linéarisation,
(sint)^(2n)=[(exp(it)-exp(-it)/(2i)]^(2n)
=(-1)^n/2^(2n)*sum(k=0 à 2n, (-1)^kC(2n,k)*exp(i(2k-2n)t)
En intégrant sur [-pi/2, pi/2] et en remarquant que int(t=-pi/2 à t=pi/2,
exp(i2kt)dt= pi si k0 et =0, on obtient
2*I(2n)=(-1)^n/2^(n)*(-1)^n*C(2n,n)*pi
donc I(2n)=C(2n,n)*pi/2

Par une méthode similaire, on obtient la valeur de I(2n+1), cela devra
plaire aux pcsi : = )

Une méthode plus sophistiquée et niveau spé (une belle salade niçoise)

on remarque que
f(x)=int(t=0 à pi/2, dt/(1+x*sint)=sum(n=0 à +oo, (-1)^n*I(n)*x^n, où I(n)
est la nième intégrale de Wallis
En effectuant le changement de variable u=tan(t/2) dans f(x), on a
f(x)=2*int(u=0 à 1, du/(1+x+(1-x)u^2)
=[2/sqrt(1-x^2)]*[arctan[u*sqrt{(1-x)/(1+x)}] =(u=1 à u=0)
==[2/sqrt(1-x^2)]*[arctan[sqrt{(1-x)/(1+x)}]
Il suffit de développer en série entière cette dernière fonction
Elle vérifie l'équation différentielle
(1-x^2)f'(x)-xf(x)=-1
En recherchant les solutions développables en série entières sum(n=0 à +oo,
a(n)x^n), on a
sum(n=1 à +oo, n*a(n)*x^(n-1) -sum(n=0 à +oo, n*a(n)x^(n+1) - sum(n=0 à +oo,
a(n)x^(n+1)=-1
a(1) + sum( n=0 à +oo, [(n+2)a(n+2)-(n+1)a(n)]x^n)=-1
donc a(1)=-1 et pour tout n>=0, a(n+2)=(n+1)/(n+2)*a(n)
a(0) étant connu et a(1) aussi, on en déduit les a(n) donc les I(n)

je vais réfléchir quant aux sommes de Riemann elles-même


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